Condición de coordenadas armónicas

La condición de coordenadas armónicas es una de varias condiciones de coordenadas en la relatividad general , que hacen posible resolver las ecuaciones de campo de Einstein . Se dice que un sistema de coordenadas satisface la condición de coordenadas armónicas si cada una de las funciones de coordenadas${\displaystyle x^{\alpha }}$(considerados campos escalares) satisfacen la ecuación de onda de d'Alembert . La noción paralela de un sistema de coordenadas armónicas en geometría riemanniana es un sistema de coordenadas cuyas funciones definitorias son armónicas, es decir, satisfacen la ecuación de Laplace . Dado que la ecuación de d'Alembert es la generalización de la ecuación de Laplace al espaciotiempo , sus soluciones también se denominan armónicas.

Las leyes de la física pueden expresarse de forma generalmente invariante. En otras palabras, el mundo real no depende de nuestros sistemas de coordenadas. Sin embargo, para poder resolver las ecuaciones, debemos fijar un sistema de coordenadas específico. Una condición de coordenadas selecciona uno (o un conjunto menor de) dichos sistemas. Las coordenadas cartesianas utilizadas en la relatividad especial satisfacen la ecuación de d'Alembert, por lo que un sistema de coordenadas armónico es la aproximación más cercana disponible en la relatividad general a un marco de referencia inercial en la relatividad especial.

En la relatividad general, tenemos que usar la derivada covariante en lugar de la derivada parcial en la ecuación de d'Alembert, por lo que obtenemos:

${\displaystyle 0=\left(x^{\alpha }\right)_{;\beta$ ;\gamma }g^{\beta \gamma }=\left(\left(x^{\alpha }\right)_{,\beta ,\gamma }-\left(x^{\alpha }\right)_{,\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }\,.}

Dado que la coordenada x ^α no es realmente un escalar, esta no es una ecuación tensorial. Es decir, no es invariante en general. Pero las condiciones de coordenadas no deben ser invariantes en general porque se supone que deben seleccionar (solo funcionan para) ciertos sistemas de coordenadas y no para otros. Dado que la derivada parcial de una coordenada es la delta de Kronecker , obtenemos:

${\displaystyle 0=\left(\delta _{\beta ,\gamma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\alpha }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }=\left(0-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }\right)g^{\beta \gamma }=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.}$

Y así, eliminando el signo menos, obtenemos la condición de coordenadas armónicas (también conocida como calibre de De Donder en honor a Théophile de Donder ^{[ 1 ]} ):

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.}$

Esta condición resulta especialmente útil al trabajar con ondas gravitacionales.

Consideremos la derivada covariante de la densidad del recíproco del tensor métrico:

${\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{;\rho }=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\rho }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,.}$

El último trimestre${\displaystyle -g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}}$surge porque${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$no es un escalar invariante, por lo que su derivada covariante no es la misma que su derivada ordinaria. Más bien,${\displaystyle {\sqrt {-g}}_{;\rho }=0}$porque​${\displaystyle {1}}$, mientras que${\displaystyle {\sqrt {-g}}_{,\rho }={\sqrt {-g}}\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }}$.​

Contrayendo ν con ρ y aplicando la condición de coordenadas armónicas al segundo término, obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+g^{\sigma \nu }\Gamma _ {\sigma \nu }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _________________________________________________________________________________________________________________ {-g}}-g^{\mu \alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\beta }{\sqrt {-g}}\,.\end{aligned}}}$

De este modo, obtenemos que una forma alternativa de expresar la condición de coordenadas armónicas es:

${\displaystyle 0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }\,.}$

Si se expresa el símbolo de Christoffel en términos del tensor métrico, se obtiene

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \delta }\left(g_{\gamma \delta ,\beta }+g_{\beta \delta ,\gamma }-g_{\beta \gamma ,\delta }\right)g^{\beta \gamma }\,.}$

Descartando el factor de${\displaystyle g^{\alpha \delta }}$y reorganizando algunos índices y términos, se obtiene

${\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,.}$

En el contexto de la gravedad linealizada , esto es indistinguible de estas formas adicionales:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,;\\g_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,;\\h_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}$

Sin embargo, las dos últimas son una condición de coordenadas diferente cuando se pasa al segundo orden en ⁠${\displaystyle h}$.​

Por ejemplo, consideremos la ecuación de onda aplicada al potencial vectorial electromagnético:

${\displaystyle 0=A_{\alpha$ ;\beta  ;\gamma }g^{\beta \gamma }\,.}

Analicemos el lado derecho:

${\displaystyle A_{\alpha$ ;\beta  ;\gamma }g^{\beta \gamma }=A_{\alpha  ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma  ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\alpha  ;\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.}

Utilizando la condición de coordenadas armónicas podemos eliminar el término más a la derecha y luego continuar la evaluación de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\alpha$ ;\beta  ;\gamma }g^{\beta \gamma }&=A_{\alpha  ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma  ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\\&=A_{\alpha ,\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho ,\gamma }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ,\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\sigma \beta }^{\rho }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}}

• Covarianza general
• Estado del indicador Lorenz

• PAMDirac (1975), Teoría general de la relatividad , Princeton University Press, ISBN 0-691-01146-Xcapítulo 22

• https://mathworld.wolfram.com/HarmonicCoordinates.html