Alcance proyectivo

En matemáticas , un rango proyectivo es un conjunto de puntos en geometría proyectiva considerados de forma unificada. Un rango proyectivo puede ser una recta proyectiva o una cónica . Un rango proyectivo es el dual de un haz de rectas que pasa por un punto dado. Por ejemplo, una correlación intercambia los puntos de un rango proyectivo con las rectas de un haz. Se dice que una proyectividad actúa de un rango a otro, aunque ambos rangos coincidan como conjuntos.

Un rango proyectivo expresa la invariancia proyectiva de la relación de conjugados armónicos proyectivos . De hecho, tres puntos en una línea proyectiva determinan un cuarto mediante esta relación. La aplicación de una proyectividad a esta cuádrupla da como resultado cuatro puntos que también están en la relación armónica. Dicha cuádrupla de puntos se denomina rango armónico . En 1940, Julian Coolidge describió esta estructura e identificó a su creador: ^{[ 1 ]}

Dos formas unidimensionales fundamentales, como conjuntos de puntos, haces de líneas o planos, se definen como proyectivas cuando sus elementos están en correspondencia biunívoca, y un conjunto armónico de una corresponde a un conjunto armónico de la otra. Si dos formas unidimensionales están conectadas por una serie de proyecciones e intersecciones, los elementos armónicos se corresponderán con elementos armónicos, y son proyectivas en el sentido de Von Staudt .

Cuando se elige una cónica para un rango proyectivo y se selecciona un punto E particular en la cónica como origen, entonces la suma de puntos se puede definir de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

Sean A y B puntos de la región (cónica) y AB la recta que los une. Sea L la recta que pasa por E y es paralela a AB . La suma de los puntos A y B , A + B , es la intersección de L con la región.

El círculo y la hipérbola son ejemplos de cónicas, y la suma de los ángulos en cualquiera de ellas se puede generar mediante el método de "suma de puntos", siempre que los puntos estén asociados con ángulos en el círculo y ángulos hiperbólicos en la hipérbola.

• HSM Coxeter (1955) El plano proyectivo real , University of Toronto Press , pág. 20 para la línea, pág. 101 para la cónica.