superespacio armónico

En supersimetría , el superespacio armónico ^{[ 1 ]} es una forma de tratar teorías supersimétricas con 8 generadores SUSY reales de manera manifiestamente covariante. Resulta que los 8 generadores SUSY reales son pseudoreales y, después de la complejización , corresponden al producto tensorial de un espinor de Dirac de cuatro dimensiones con la representación fundamental de SU(2) _R. El espacio cociente${\displaystyle SU(2)_{R}/U(1)_{R}\approx S^{2}\simeq \mathbb {CP} ^{1}}$, que es una esfera 2 / esfera de Riemann .

El superespacio armónico describe N=2 D=4, N=1 D=5 y N=(1,0) D=6 SUSY de una manera manifiestamente covariante.

Existen muchos sistemas de coordenadas posibles sobre S ² , ^{[ 2 ]} pero el elegido no solo implica coordenadas redundantes , sino que también resulta ser una coordinatización de${\displaystyle SU(2)_{R}\approx S^{3}}$. Solo obtenemos S ² después de una proyección sobre${\displaystyle U(1)_{R}\approx S^{1}}$Esta es, por supuesto, la fibración de Hopf . Consideremos la acción izquierda de SU(2) _R sobre sí mismo. Podemos extender esto al espacio de funciones suaves con valores complejos sobre SU(2) _R. En particular, tenemos el subespacio de funciones que se transforman como la representación fundamental bajo SU(2) _R. La representación fundamental (salvo isomorfismo, por supuesto) es un espacio vectorial complejo bidimensional. Denotemos los índices de esta representación por i,j,k,...=1,2. El subespacio de interés consta de dos copias de la representación fundamental. Bajo la acción derecha de U(1) _R —que conmuta con cualquier acción izquierda— una copia tiene una "carga" de +1 y la otra de -1. Denominemos las funciones base.${\displaystyle u^{\pm i}}$.

${\displaystyle \left(u^{+i}\right)^{*}=u_{i}^{-}}$.

La redundancia en las coordenadas viene dada por

${\displaystyle u^{+i}u_{i}^{-}=1}$.

Todo puede interpretarse en términos de geometría algebraica . La proyección viene dada por la "transformación de calibre".${\displaystyle u^{\pm i}\to e^{\pm i\phi }u^{\pm i}}$donde φ es cualquier número real. Consideremos S ³ como un fibrado principal U (1) _R sobre S ² con una primera clase de Chern no nula . Entonces, los "campos" sobre S ² se caracterizan por una carga U(1) _R entera dada por la acción derecha de U(1) _R. Por ejemplo, u ⁺ tiene una carga de +1, y u ⁻ de -1. Por convención, los campos con una carga de +r se denotan con un superíndice con r +, y lo mismo para los campos con una carga de -r. Las cargas R son aditivas bajo la multiplicación de campos.

Los cargos de SUSY son${\displaystyle Q^{i\alpha }}$y las coordenadas fermiónicas correspondientes son${\displaystyle \theta ^{i\alpha }}$El superespacio armónico viene dado por el producto del superespacio extendido ordinario (con 8 coordenadas fermiónicas reales) con S ² con el fibrado no trivial U(1) _R sobre él. El producto está algo retorcido en el sentido de que las coordenadas fermiónicas también están cargadas bajo U(1) _R . Esta carga viene dada por

${\displaystyle \theta ^{\pm \alpha }=u_{i}^{\pm }\theta ^{i\alpha }}$.

Podemos definir las derivadas covariantes${\displaystyle D_{\alpha }^{\pm }}$con la propiedad que realizan supercomunicaciones con las transformaciones SUSY, y${\displaystyle D_{\alpha }^{\pm }f(u)=0}$donde f es cualquier función de las variables armónicas. De manera similar, definimos

${\displaystyle D^{++}\equiv u^{+i}{\frac {\partial }{\partial u^{-i}}}}$

y

${\displaystyle D^{--}\equiv u^{-i}{\frac {\partial }{\partial u^{+i}}}}$.

Un supercampo quiral q con una carga R de r satisface${\displaystyle D_{\alpha }^{+}q=0}$Un hipermultiplete escalar viene dado por un supercampo quiral .${\displaystyle q^{+}}$Tenemos la restricción adicional

${\displaystyle D^{++}q^{+}=J^{+++}(q^{+},\,u)}$.

Según el teorema del índice de Atiyah-Singer , el espacio de soluciones para la restricción anterior es una variedad compleja bidimensional .

El grupo${\displaystyle SU(2)_{R}}$puede identificarse con el grupo de Lie de cuaterniones con norma unitaria bajo la multiplicación.${\displaystyle SU(2)_{R}}$y por lo tanto los cuaterniones actúan sobre el espacio tangente del superespacio extendido. Las dimensiones del espaciotiempo bosónico se transforman trivialmente bajo${\displaystyle SU(2)_{R}}$mientras que las dimensiones fermiónicas se transforman según la representación fundamental . ^{[ 3 ]} La multiplicación izquierda por cuaterniones es lineal. Ahora consideremos el subespacio de cuaterniones unitarios sin componente real, que es isomorfo a S ² . Cada elemento de este subespacio puede actuar como el número imaginario i en una subálgebra compleja de los cuaterniones. Así, para cada elemento de S ² , podemos usar la unidad imaginaria correspondiente para definir una estructura complejo-real sobre el superespacio extendido con 8 generadores SUSY reales. La totalidad de todas las estructuras CR para cada punto en S ² es el superespacio armónico.

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