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Articulo de referencia

Recursión de Panjer

La recursión de Panjer es un algoritmo para calcular la aproximación de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria compuesta. S = ∑ i = 1 norte incógnita i {\disp...

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La recursión de Panjer es un algoritmo para calcular la aproximación de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria compuesta.S=∑i=1norteincógnitai{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,} donde ambosnorte{\displaystyle N\,}yincógnitai{\displaystyle X_{i}\,}son variables aleatorias y de tipos especiales. En casos más generales, la distribución de S es una distribución compuesta . La recursión para los casos especiales considerados fue introducida en un artículo [ 1 ] por Harry Panjer (Profesor Emérito Distinguido, Universidad de Waterloo [ 2 ] ). Se utiliza ampliamente en la ciencia actuarial (véase también riesgo sistémico ).

Preliminares

Nos interesa la variable aleatoria compuesta.S=∑i=1norteincógnitai{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}dóndenorte{\displaystyle N\,}yincógnitai{\displaystyle X_{i}\,}cumplir con las siguientes condiciones previas.

Distribución del tamaño de las reclamaciones

Suponemos queincógnitai{\displaystyle X_{i}\,}ser iid e independiente denorte{\displaystyle N\,}. Además, elincógnitai{\displaystyle X_{i}\,}deben distribuirse en una redhnorte0{\displaystyle h\mathbb {N} _{0}\,}con ancho de redh>0{\displaystyle h>0\,}.

Fk=PAG[incógnitai=hk].{\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].\,}

En la práctica actuarial,incógnitai{\displaystyle X_{i}\,}se obtiene mediante la discretización de la función de densidad de reclamación (superior, inferior...).

Distribución del número de reclamación

El número de reclamaciones N es una variable aleatoria , que se dice que tiene una "distribución del número de reclamaciones" y que puede tomar valores 0, 1, 2, ... etc. Para la "recursión de Panjer", la distribución de probabilidad de N debe pertenecer a la clase de Panjer , también conocida como la clase de distribuciones (a,b,0) . Esta clase consta de todas las variables aleatorias de conteo que cumplen la siguiente relación:

PAG[norte=k]=pagk=(a+bk)⋅pagk−1,  k≥1.{\displaystyle P[N=k]=p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\,}

para algunosa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}que cumplena+b≥0{\displaystyle a+b\geq 0\,}. El valor inicialpag0{\displaystyle p_{0}\,}se determina de tal manera que∑k=0∞pagk=1.{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,}

La recursión de Panjer utiliza esta relación iterativa para especificar una forma recursiva de construir la distribución de probabilidad de S. En lo siguienteWnorte(incógnita){\displaystyle W_{N}(x)\,}denota la función generadora de probabilidad de N : para ello, véase la tabla en la clase de distribuciones (a,b,0) .

En caso de que se conozca el número de reclamación, tenga en cuenta el algoritmo de De Pril . [ 3 ] Este algoritmo es adecuado para calcular la distribución de suma denorte{\displaystyle n}variables aleatorias discretas . [ 4 ]

Recursión

El algoritmo ahora proporciona una recursión para calcular elgramok=PAG[S=hk]{\displaystyle g_{k}=P[S=hk]\,}.

El valor inicial esgramo0=Wnorte(F0){\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})\,}con los casos especiales

gramo0=pag0⋅exp⁡(F0b) si a=0,{\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ si }}\quad a=0,\,}

y

gramo0=pag0(1−F0a)1+b/a para a≠0,{\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ para }}\quad a\neq 0,\,}

y proceder con

gramok=11−F0a∑j=1k(a+b⋅jk)⋅Fj⋅gramok−j.{\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{kj}.\,}

Ejemplo

El siguiente ejemplo muestra la densidad aproximada deS=∑i=1norteincógnitai{\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}dóndenorte∼NegBin(3.5,0,3){\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}yincógnita∼Frechet(1.7,1){\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)}con un ancho de red h = 0,04. (Véase la distribución de Fréchet ).

Como se ha observado, puede surgir un problema al inicializar la recursión. Guégan y Hassani (2009) propusieron una solución para abordar ese problema. [ 5 ]

Referencias

  1. ↑ Panjer, Harry H. (1981). "Evaluación recursiva de una familia de distribuciones compuestas" (PDF) . ASTIN Bulletin . 12 (1). Asociación Actuarial Internacional : 22–26 . doi : 10.1017/S0515036100006796 . S2CID 15372040 . 
  2. ↑ CV , actuaries.org; Página del personal , math.uwaterloo.ca
  3. ↑ Wiki de riesgos de Vose Software: http://www.vosesoftware.com/riskwiki/Aggregatemodeling-DePrilsrecursivemethod.php
  4. ↑ De Pril, N. (1988). "Aproximaciones mejoradas para la distribución agregada de reclamaciones de una cartera de seguros de vida". Scandinavian Actuarial Journal . 1988 ( 1–3 ): 61–68 . doi : 10.1080/03461238.1988.10413837 .
  5. ↑ Guégan, D.; Hassani, BK (2009). "Un algoritmo Panjer modificado para cálculos de capital de riesgo operacional". Journal of Operational Risk . 4 (4): 53– 72. CiteSeerX 10.1.1.413.5632 . doi : 10.21314/JOP.2009.068 . S2CID 4992848 .  
  • Recursión de Panjer y las distribuciones con las que se puede utilizar