Teorema de Hartogs sobre holomorfismo separado

En matemáticas , el teorema de Hartogs es un resultado fundamental de Friedrich Hartogs en la teoría de varias variables complejas . En términos generales, establece que una función "analítica por separado" es continua. Más precisamente, si${\displaystyle F:{\textbf {C}}^{n}\a {\textbf {C}}}$es una función que es analítica en cada variable z _i , 1 ≤ i ≤ n , mientras que las otras variables se mantienen constantes, entonces F es una función continua .

Una consecuencia de esto es que la función F es, de hecho, una función analítica en el sentido de n variables (es decir, que localmente tiene un desarrollo de Taylor ). Por lo tanto, «analiticidad separada» y «analiticidad» son nociones coincidentes en la teoría de varias variables complejas.

Partiendo de la hipótesis adicional de que la función es continua (o acotada), el teorema es mucho más fácil de demostrar y, en esta forma, se conoce como el lema de Osgood .

No existe un análogo de este teorema para variables reales . Si asumimos que una función ${\displaystyle f\colon {\textbf {R}}^{n}\to {\textbf {R}}}$ es diferenciable (o incluso analítica ) en cada variable por separado, no es cierto que${\displaystyle f}$será necesariamente continuo. Un contraejemplo en dos dimensiones viene dado por

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Si además definimos${\displaystyle f(0,0)=0}$, esta función tiene derivadas parciales bien definidas en${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en el origen, pero no es continua en el origen. (De hecho, los límites a lo largo de las líneas${\displaystyle x=y}$y${\displaystyle x=-y}$ no son iguales, por lo que no hay manera de extender la definición de${\displaystyle f}$(para incluir el origen y que la función sea continua en ese punto).

• Steven G. Krantz . Teoría de funciones de varias variables complejas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Fuks, Boris Abramovich (1963). Teoría de las funciones analíticas de varias variables complejas . American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-4428-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Hörmander, Lars (1990) [1966], Introducción al análisis complejo en varias variables (3.ª  ed.), North Holland, ISBN 978-1-493-30273-4

• "Teorema de Hartogs" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]

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