Derivado de Hasse

En matemáticas, la derivada de Hasse es una generalización de la derivada que permite formular el teorema de Taylor en anillos de coordenadas de variedades algebraicas .

Sea k [ X ] un anillo de polinomios sobre un cuerpo k . La r -ésima derivada de Hasse de X ⁿ es

${\displaystyle D^{(r)}X^{n}={\binom {n}{r}}X^{nr},}$

si n ≥ r y cero en caso contrario. ^{[ 1 ]} En característica cero tenemos

${\displaystyle D^{(r)}={\frac {1}{r!}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} X}}\right)^{r}\ .}$

La derivada de Hasse es una derivación generalizada en k [ X ] y se extiende a una derivación generalizada en el campo de funciones k ( X ), ^{[ 1 ]} que satisface un análogo de la regla del producto.

${\displaystyle D^{(r)}(fg)=\sum _{i=0}^{r}D^{(i)}(f)D^{(ri)}(g)}$

y un análogo de la regla de la cadena. ^{[ 2 ]} Nótese que la${\displaystyle D^{(r)}}$En general, no son derivaciones en sí mismas , pero están estrechamente relacionadas.

Una forma del teorema de Taylor se cumple para una función f definida en términos de un parámetro local t en una variedad algebraica: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f=\sum _{r}D^{(r)}(f)\cdot t^{r}\ .}$

• Goldschmidt, David M. (2003). Funciones algebraicas y curvas proyectivas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  215. Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95432-5. Zbl 1034.14011 .