Teorema de la norma de Hasse

En teoría de números , el teorema de la norma de Hasse establece que si L/K es una extensión cíclica de cuerpos numéricos , entonces si un elemento no nulo de K es una norma local en todas partes, entonces es una norma global. Aquí, ser una norma global significa ser un elemento k de K tal que existe un elemento l de L con${\displaystyle \mathbf {N} _ {L/K}(l)=k}$En otras palabras, k es una norma relativa de algún elemento del cuerpo de extensión L. Ser una norma local significa que para algún primo p de K y algún primo P de L que se encuentra sobre K, entonces k es una norma de L _P ; aquí el "primo" p puede ser una valoración arquimediana, y el teorema es una afirmación sobre completaciones en todas las valoraciones, arquimedianas y no arquimedianas.

El teorema deja de ser cierto en general si la extensión es abeliana pero no cíclica. Hasse dio el contraejemplo de que 3 es una norma local en todas partes para la extensión.${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}},{\sqrt {13}})/{\mathbf {Q} }}$pero no es una norma global. Serre y Tate demostraron que otro contraejemplo lo proporciona el campo${\displaystyle {\mathbf {Q} }({\sqrt {13}},{\sqrt {17}})/{\mathbf {Q} }}$donde cada cuadrado racional es una norma local en todas partes pero${\displaystyle 5^{2}}$no es una norma global.

Este es un ejemplo de un teorema que enuncia un principio local-global .

El teorema completo se debe a Hasse ( 1931 ) . El caso especial en que el grado n de la extensión es 2 fue demostrado por Hilbert (1897) , y el caso especial en que n es primo fue demostrado por Furtwängler en 1902. 

El teorema de la norma de Hasse se deduce del teorema que establece que un elemento del grupo de cohomología de Galois ^H₂ ( L / K ) es trivial si es trivial localmente en todas partes, lo cual, a su vez, es equivalente al teorema fundamental que afirma que la primera cohomología del grupo de clases idele se anula. Esto se cumple para todas las extensiones finitas de Galois de cuerpos numéricos, no solo para las cíclicas. Para las extensiones cíclicas, el grupo H₂ ⁽ L / K ) es isomorfo al grupo de cohomología de Tate H₀ ( L / K ), que describe qué elementos son normas; por lo tanto, para las extensiones cíclicas ^, el teorema de Hasse establece que un elemento es una norma si es una norma local en todas partes.

• Teorema de Grunwald-Wang , sobre cuándo un elemento que es una potencia en todas partes es localmente una potencia.

• Hasse, H. (1931), "Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol" , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 64– 69
• H. Hasse, "Una historia de la teoría de cuerpos de clases", en JWS Cassels y A. Frohlich (eds.), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Cap. XI.
• G. Janusz, Campos numéricos algebraicos , Academic Press, 1973. Teorema V.4.5, pág.  156
• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 4 : 175– 546, ISSN 0012-0456