Brecha de Hausdorff

En matemáticas , una brecha de Hausdorff consiste, aproximadamente, en dos conjuntos de secuencias de números naturales , de modo que no existe ninguna secuencia entre ellos. El primer ejemplo fue hallado por Hausdorff ( 1909 ) . La existencia de brechas de Hausdorff demuestra que el conjunto parcialmente ordenado de posibles tasas de crecimiento de secuencias no es completo . 

Dejar${\displaystyle \omega ^{\omega }}$Sea el conjunto de todas las secuencias de enteros no negativos, y definamos${\displaystyle f<g}$significar${\displaystyle \lim \left(g(n)-f(n)\right)=+\infty }$.

Si${\displaystyle X}$es un conjunto parcialmente ordenado (poset) y${\displaystyle \kappa }$y${\displaystyle \lambda }$son cardinales , entonces un${\displaystyle (\kappa,\lambda)}$- brecha previa en${\displaystyle X}$es un conjunto de elementos${\displaystyle f_{\alpha }}$para${\displaystyle \alpha \in \kappa }$y un conjunto de elementos${\displaystyle g_{\beta }}$para${\displaystyle \beta \in \lambda }$de tal manera que:

• La secuencia transfinita${\displaystyle f}$está aumentando estrictamente;
• La secuencia transfinita${\displaystyle g}$es estrictamente decreciente;
• Cada elemento de la secuencia${\displaystyle f}$es menor que cada elemento de la secuencia${\displaystyle g}$.

Un pre-hueco se denomina hueco si cumple la condición adicional:

• No hay ningún elemento${\displaystyle h}$mayor que todos los elementos de${\displaystyle f}$y menos que todos los elementos de${\displaystyle g}$.

Una brecha de Hausdorff es una${\displaystyle (\omega _ {1}, \ omega _ {1})}$-brecha en${\displaystyle \omega ^{\omega }}$de tal manera que para cada ordinal contable${\displaystyle \alpha }$(es decir, cada${\displaystyle \alpha \in \omega _{1}}$) y cada número natural${\displaystyle n}$solo hay un número finito de${\displaystyle \beta }$menos que${\displaystyle \alpha }$de tal manera que para todos${\displaystyle k>n}$tenemos${\displaystyle f_{\alpha }(k)<g_{\beta }(k)}$.

Existen algunas variaciones de estas definiciones, con el conjunto ordenado${\displaystyle \omega ^{\omega }}$reemplazado por un conjunto similar. Por ejemplo, se puede redefinir${\displaystyle f<g}$significar${\displaystyle f(n)<g(n)}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle n}$. Otra variación introducida por Hausdorff (1936) consiste en reemplazar${\displaystyle \omega ^{\omega }}$por el conjunto de potencias de${\displaystyle \omega }$, con el orden dado por${\displaystyle A<B}$si${\displaystyle A}$tiene solo un número finito de elementos que no están en${\displaystyle B}$pero${\displaystyle B}$tiene infinitos elementos que no están en${\displaystyle A}$.

Es posible demostrar en ZFC que existen brechas de Hausdorff y${\displaystyle ({\mathfrak {b}},\omega)}$-huecos donde${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$es la cardinalidad del conjunto no acotado más pequeño en${\displaystyle \omega ^{\omega }}$y que no hay${\displaystyle (\omega,\omega)}$-huecos. El axioma de coloración abierta más fuerte puede descartar todos los tipos de huecos excepto los huecos de Hausdorff y los de tipo${\displaystyle (\kappa,\omega)}$con${\displaystyle \kappa \geq \omega _ {2}}$.

• Carotenuto, Gemma (2013), Introducción a OCA (PDF) , notas sobre las conferencias de Matteo Viale
• Ryszard, Frankiewicz; Paweł, Zbierski (1994), Hausdorff gaps and limits , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol.  132, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-89490-X, MR 1311476 
• Hausdorff, F. (1909), Die Graduierung nach dem Endverlauf , Abhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, vol.  31, BG Teubner, págs . 296–334 
• Hausdorff, F. (1936), "Summen von ℵ ₁ Mengen" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 26 (1), Instituto de Matemáticas Academia Polaca de Ciencias: 241– 255, doi : 10.4064/fm-26-1-241-255 , ISSN 0016-2736 
• Scheepers, Marion (1993), "Gaps in ω ^ω " , en Judah, Haim (ed.), Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991) , Israel Math. Conf. Proc., vol.  6, Ramat Gan: Bar-Ilan Univ., pp. 439– 561, ISBN  978-9996302800, MR 1234288 

• "Brecha de Hausdorff" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]