Principio máximo de Hausdorff

La idea de la demostración se debe esencialmente a Zermelo y consiste en probar la siguiente forma débil del lema de Zorn , a partir del axioma de elección . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

(El lema de Zorn también se deduce de esta forma débil). El principio maximal se deduce de lo anterior, ya que el conjunto de todas las cadenas en${\displaystyle P}$Cumple las condiciones anteriores.

Por el axioma de elección, tenemos una función${\displaystyle f:{\mathfrak {P}}(P)-\{\emptyset \}\to P}$de tal manera que${\displaystyle f(S)\in S}$para el conjunto de potencia${\displaystyle {\mathfrak {P}}(P)}$de${\displaystyle P}$.

Para cada${\displaystyle C\in F}$, dejar${\displaystyle C^{*}}$ser el conjunto de todos${\displaystyle x\in P-C}$de tal manera que${\displaystyle C\cup \{x\}}$está en${\displaystyle F}$. Si${\displaystyle C^{*}=\emptyset }$, entonces deja${\displaystyle {\widetilde {C}}=C}$De lo contrario, deja

${\displaystyle {\widetilde {C}}=C\cup \{f(C^{*})\}.}$

Nota${\displaystyle C}$es un elemento maximal si y solo si${\displaystyle {\widetilde {C}}=C}$. Por lo tanto, habremos terminado si podemos encontrar un${\displaystyle C}$de tal manera que${\displaystyle {\widetilde {C}}=C}$.

Arreglar un${\displaystyle C_{0}}$en${\displaystyle F}$. Llamamos subconjunto${\displaystyle T\subset F}$una torre (sobre${\displaystyle C_{0}}$) si

1. ${\displaystyle C_{0}}$está en${\displaystyle T}$.
2. La unión de cada subconjunto totalmente ordenado${\displaystyle T'\subset T}$está en${\displaystyle T}$, donde "totalmente ordenado" se refiere a la inclusión de conjuntos.
3. Para cada${\displaystyle C}$en${\displaystyle T}$,${\displaystyle {\widetilde {C}}}$está en${\displaystyle T}$.

Existe al menos una torre; de ​​hecho,${\displaystyle F}$En sí misma es una torre. Deja${\displaystyle T_{0}}$sea ​​la intersección de todas las torres, que a su vez es una torre.

Ahora, les mostraremos${\displaystyle T_{0}}$está totalmente ordenado. Decimos un conjunto${\displaystyle C}$es comparable en${\displaystyle T_{0}}$si para cada${\displaystyle A}$en${\displaystyle T_{0}}$, cualquiera${\displaystyle A\subset C}$o${\displaystyle C\subset A}$. Dejar${\displaystyle \Gamma }$sea ​​el conjunto de todos los conjuntos en${\displaystyle T_{0}}$que son comparables en${\displaystyle T_{0}}$Afirmamos${\displaystyle \Gamma }$es una torre. Las condiciones 1 y 2 son fáciles de comprobar. Para la 3, sea${\displaystyle C}$en${\displaystyle \Gamma }$ser dado y luego dejar${\displaystyle U}$ser el conjunto de todos${\displaystyle A}$en${\displaystyle T_{0}}$de tal manera que${\displaystyle A\subset C}$o${\displaystyle {\widetilde {C}}\subset A}$.

Afirmamos${\displaystyle U}$es una torre. Las condiciones 1 y 2 son nuevamente fáciles de comprobar. Para la 3, dejemos${\displaystyle A}$estar en${\displaystyle U}$. Si${\displaystyle A\subset C}$, entonces desde${\displaystyle C}$es comparable en${\displaystyle T_{0}}$, cualquiera${\displaystyle {\widetilde {A}}\subset C}$o${\displaystyle C\subset {\widetilde {A}}}$. En el primer caso,${\displaystyle {\widetilde {A}}}$está en${\displaystyle U}$. En el segundo caso, tenemos${\displaystyle A\subset C\subset {\widetilde {A}}}$, lo que implica que${\displaystyle A=C}$o${\displaystyle C={\widetilde {A}}}$. (Este es el momento en que necesitábamos colapsar un conjunto a un elemento por el axioma de elección para definir${\displaystyle {\widetilde {A}}}$.) De cualquier manera, tenemos${\displaystyle {\widetilde {A}}}$está en${\displaystyle U}$. De manera similar, si${\displaystyle C\subset A}$, vemos${\displaystyle {\widetilde {A}}}$está en${\displaystyle U}$. Por eso,${\displaystyle U}$es una torre. Ahora, dado que${\displaystyle U\subset T_{0}}$y${\displaystyle T_{0}}$es la intersección de todas las torres,${\displaystyle U=T_{0}}$, lo cual implica${\displaystyle {\widetilde {C}}}$es comparable en${\displaystyle T_{0}}$; es decir, está en${\displaystyle \Gamma }$. Esto completa la prueba de la afirmación de que${\displaystyle \Gamma }$es una torre.

Finalmente, dado que${\displaystyle \Gamma }$es una torre contenida en${\displaystyle T_{0}}$, tenemos${\displaystyle T_{0}=\Gamma }$, lo que significa${\displaystyle T_{0}}$Está totalmente ordenado.

Dejar${\displaystyle C}$ser la unión de${\displaystyle T_{0}}$. Por 2.,${\displaystyle C}$está en${\displaystyle T_{0}}$y luego por 3.,${\displaystyle {\widetilde {C}}}$está en${\displaystyle T_{0}}$. Desde${\displaystyle C}$es la unión de${\displaystyle T_{0}}$,${\displaystyle {\widetilde {C}}\subset C}$y por lo tanto${\displaystyle {\widetilde {C}}=C}$.${\displaystyle \square }$

La existencia de un${\displaystyle C}$en${\displaystyle F}$de tal manera que${\displaystyle {\widetilde {C}}=C}$También se deduce inmediatamente del teorema de Bourbaki-Witt (véase la  prueba 2 ), que dice que${\displaystyle F\to F,\,C\mapsto {\widetilde {C}}}$tiene un punto fijo. Por otro lado, la demostración anterior establece lo siguiente como un caso especial, que tiene cierto interés independiente.

De hecho, si tal${\displaystyle g}$existe, nosotros definimos${\displaystyle {\widetilde {C}}=C\cup \{g(C)\}}$y lo anterior${\displaystyle C}$da una contradicción como${\displaystyle C={\widetilde {C}}}$. Este lema implica a su vez inmediatamente el teorema de Bourbaki-Witt; véase el teorema de Bourbaki-Witt#Demostración 3 .

Para una demostración alternativa (de Bourbaki-Witt), véase también la demostración del Teorema 3.1. (Bourbaki-Witt) en el lema de Zorn ^{[ 7 ]} Lo que aquí llamamos torre es lo mismo que allí es un conjunto s-inductivo. Esa demostración es exactamente igual a la demostración del lema de Zorn en el Álgebra de Lang . ^{[ 8 ]}

El teorema de Bourbaki-Witt establece que

Dejar${\displaystyle X}$Sea un poset no vacío en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo (es decir, supremo ). Entonces cada función${\displaystyle f:X\to X}$de tal manera que${\displaystyle f(x)\geq x}$por cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$tiene un punto fijo.

El teorema anterior en sí mismo no se basa en el axioma de elección . Sin embargo, junto con el axioma de elección, se puede utilizar para demostrar el principio maximal de Hausdorff de la siguiente manera. Consideremos${\displaystyle X}$ser el conjunto de todas las cadenas en un poset${\displaystyle P}$, que en sí mismo es un conjunto parcialmente ordenado con respecto a la inclusión de conjuntos. No es vacío ya que incluye el conjunto vacío. Además, la unión de una cadena${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset X}$es un límite superior mínimo: es claramente un límite superior y si${\displaystyle U}$es un límite superior de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, entonces${\displaystyle \cup {\mathcal {C}}\subset U}$. Ahora, para cada cadena${\displaystyle C}$en${\displaystyle P}$, dejar${\displaystyle C^{*}}$sea ​​el conjunto de todos los límites superiores estrictos de${\displaystyle C}$. Dejar

${\displaystyle g:{\mathfrak {P}}(P)-\{\emptyset \}\to P}$

Sea una función de elección cuya existencia está asegurada por el axioma de elección y luego defina${\displaystyle f:X\to X}$por

${\displaystyle f(C)\mathrel {\mathop {:} } ={\begin{cases}C,&{\text{if}}\ C\ {\text{is maximal}}\\C\cup \{g(C^{*})\},&{\text{if}}\ C\ {\text{is not maximal}}\end{cases}}}$

Por el teorema de Bourbaki-Witt, existe un elemento${\displaystyle C}$en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle f(C)=C}$y esto${\displaystyle C}$es una cadena máxima en${\displaystyle P}$.${\displaystyle \square }$

Dejar${\displaystyle P'}$ser el conjunto de todas las cadenas en${\displaystyle P}$. Por el teorema del buen ordenamiento , encontramos un buen ordenamiento${\displaystyle \preceq }$en${\displaystyle P}$Construiremos la función

${\displaystyle f:P\to P'}$

recursivamente con respecto a${\displaystyle \preceq }$de la siguiente manera. ^{[ 9 ]} Para un elemento${\displaystyle x}$en${\displaystyle P}$Supongamos que se nos da una función arbitraria.

${\displaystyle g:\{y\in P\mid y\prec x\}\to P'.}$

Entonces deja

${\displaystyle f(x)=(\cup \operatorname {im} (g))\cup \{x\}}$

si el conjunto de la derecha está totalmente ordenado; es decir, un elemento de${\displaystyle P'}$y${\displaystyle f(x)=\emptyset }$de lo contrario. Si${\displaystyle g}$También se requiere que satisfaga la condición recursiva anterior, entonces el teorema de recursión transfinita asegura que esto define la función.${\displaystyle f}$de forma única (en pocas palabras, si${\displaystyle x}$es un${\displaystyle \preceq }$-elemento mínimo, el dominio de${\displaystyle g}$arriba está el conjunto vacío y por lo tanto${\displaystyle f(x)}$está determinado de forma única y, en general, la condición de recursión garantiza la unicidad.${\displaystyle g}$se utiliza para definir${\displaystyle f(x)}$.) Observamos

1. La imagen de${\displaystyle f}$está totalmente ordenado, con respecto a la inclusión de conjuntos.
2. Si${\displaystyle D}$es una cadena que contiene${\displaystyle \cup \{f(y)\mid y\prec x,\,x\in D\}}$, entonces${\displaystyle x\in f(x)}$para cada${\displaystyle x\in D}$.

En efecto, (1) se cumple puesto que si${\displaystyle y\prec x}$, entonces

${\displaystyle f(x)=(\cup \{f(y)\mid y\prec x\})\cup \{x\}}$

que contiene${\displaystyle f(y)}$como subconjunto. (2) se cumple ya que

${\displaystyle f(\{y\mid y\prec x\})\cup \{x\}\subset D}$

es una cadena ya que es un subconjunto de una cadena.

Finalmente, por (1), la unión${\displaystyle C}$de la imagen de${\displaystyle f}$es una cadena y es máxima por (2), ya que si${\displaystyle D\supset C}$es otra cadena, entonces${\displaystyle x\in f(x)\subset C}$para cada${\displaystyle x\in D}$.${\displaystyle \square }$