Proceso de Hawkes

En teoría de la probabilidad y estadística, un proceso de Hawkes es un proceso de ramificación dependiente de la edad impulsado por la inmigración desde un proceso de Poisson no homogéneo. El proceso, que lleva el nombre de Alan G. Hawkes, también se denomina proceso puntual autoexcitado . ^{[ 1 ]} , es decir, la ocurrencia de un evento aumenta la probabilidad de que ocurra otro evento. Tiene llegadas en tiempos${\textstyle 0<t_{1}<t_{2}<t_{3}<\cdots }$donde la probabilidad infinitesimal de una llegada durante el intervalo de tiempo${\textstyle [t,t+dt)}$es

${\displaystyle \lambda _{t}\,dt=\left(\mu (t)+\sum _{t_{k}\,:\,t_{k}\,<\,t}\phi (t-t_{k})\right)\,dt.}$

La función${\textstyle \mu }$es la intensidad de un proceso de Poisson subyacente . La primera llegada ocurre en el tiempo${\textstyle t_{1}}$y justo después de eso, la intensidad se convierte en${\textstyle \mu (t)+\phi (t-t_{1})}$y en ese momento${\textstyle t_{2}}$de la segunda llegada la intensidad salta a${\textstyle \mu (t)+\phi (t-t_{1})+\phi (t-t_{2})}$y así sucesivamente. ^{[ 2 ]}

Durante el intervalo de tiempo${\textstyle (t_{k},t_{k+1})}$, el proceso es la suma de${\textstyle k+1}$procesos independientes con intensidades${\textstyle \mu (t),\phi (t-t_{1}),\ldots ,\phi (t-t_{k}).}$Las llegadas en el proceso cuya intensidad es${\textstyle \phi (t-t_{k})}$son las "hijas" de la llegada en el momento${\textstyle t_{k}.}$El integral${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi (t)\,dt}$es el número promedio de hijas de cada llegada y se denomina razón de ramificación . Así, al considerar algunas llegadas como descendientes de llegadas anteriores, tenemos un proceso de ramificación de Galton-Watson . El número de tales descendientes es finito con probabilidad 1 si la razón de ramificación es 1 o menor. Si la razón de ramificación es mayor que 1, entonces cada llegada tiene una probabilidad positiva de tener infinitos descendientes.

En su artículo fundamental ^{[ 2 ]} , Hawkes también consideró procesos mutuamente excitables que ahora se denominan procesos de Hawkes multivariados.${\textstyle n}$Los procesos puntuales tienen tiempos de llegada denotados por${\textstyle 0<t_{1}^{i}<t_{2}^{i}<t_{3}^{i}<\cdots }$para cada tipo${\textstyle i=1,\dots ,n}$. La probabilidad de puntos compartidos es nula, es decir${\textstyle \mathbb {P} (\exists (i,k)\neq (j,\ell ):t_{k}^{i}=t_{\ell }^{j})=0}$y para cada uno${\textstyle i}$, la probabilidad infinitesimal de una llegada de tipo${\textstyle i}$durante el intervalo de tiempo${\textstyle [t,t+dt)}$es

${\displaystyle \lambda _{t}^{i}\,dt=\left(\mu _{i}(t)+\sum _{j=1}^{n}\sum _{t_{k}^{j}\,:\,t_{k}^{j}\,<\,t}\phi _{ij}(t-t_{k}^{j})\right)\,dt.}$

La interacción se describe ahora mediante una matriz de funciones.${\textstyle \mathbf {\Phi } =(\phi _{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$y la integral matricial${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathbf {\Phi } (t)\,dt}$desempeña el papel de la relación de ramificación.

Aquí hay una animación para visualizar las probabilidades infinitesimales.${\displaystyle \lambda _{t}^{i}}$y eventos asociados${\displaystyle t_{k}^{i}}$en un marco bivariado.

Brémaud y Massoulié extendieron los procesos de Hawkes para permitir una tasa de natalidad dependiente de la densidad. Consideraron una probabilidad infinitesimal de llegada de la siguiente forma:

${\displaystyle \lambda _{t}\,dt=f\left(\mu (t)+\sum _{t_{k}\,:\,t_{k}\,<\,t}\phi (t-t_{k})\right)\,dt,}$

para alguna función no negativa${\displaystyle f}$. ^{[ 3 ]} El proceso de Hawkes original independiente de la densidad corresponde, por lo tanto, a${\displaystyle f(x)=x}$Por supuesto, tanto las extensiones dependientes de la densidad como las multivariadas son posibles simultáneamente. Si bien esta extensión dependiente de la densidad del proceso de Hawkes sigue siendo un proceso puntual, ya no es un proceso ramificado porque las distribuciones de los descendientes puntuales ya no son independientes.

Esta extensión dependiente de la densidad permite propensiones negativas.${\displaystyle \phi }$. Por lo tanto, puede modelar la autoinhibición o la inhibición mutua (en un contexto multivariado), lo cual puede ser importante en neurociencia ^{[ 4 ]} .

Los procesos de Hawkes se utilizan para el modelado estadístico de eventos en finanzas matemáticas , ^{[ 5 ]} epidemiología , ^{[ 6 ]} sismología de terremotos , ^{[ 7 ]} y otros campos en los que un evento aleatorio exhibe un comportamiento autoexcitante. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Proceso puntual
• Autooscilación

• Bacry, Emmanuel; Mastromatteo, Iacopo; Muzy, Jean-François (2015). "Procesos de Hawkes en finanzas". arXiv : 1502.04592 [ q-fin.TR ].
• Rizoiu, Marian-Andrei; Lee, Young; Mishra, Swapnil; Xie, Lexing (2017). "Un tutorial sobre los procesos de Hawkes para eventos en redes sociales". arXiv : 1708.06401 [ stat.ML ].