Límite de Hayashi

El límite de Hayashi es una restricción teórica sobre el radio máximo de una estrella para una masa dada . Cuando una estrella se encuentra en equilibrio hidrostático —una condición en la que la fuerza de gravedad hacia adentro se compensa con la presión del gas hacia afuera—, no puede exceder el radio definido por el límite de Hayashi. Esto tiene importantes implicaciones para la evolución de una estrella, tanto durante el período de contracción formativa como posteriormente, cuando la estrella ha consumido la mayor parte de su suministro de hidrógeno mediante fusión nuclear . ^{[ 1 ]}

Un diagrama de Hertzsprung-Russell muestra la temperatura superficial de una estrella en función de su luminosidad . En este diagrama, el límite de Hayashi forma una línea casi vertical alrededor de los 2500  K. Las capas exteriores de las estrellas de baja temperatura son siempre convectivas, y los modelos de estructura estelar para estrellas totalmente convectivas no proporcionan una solución a la derecha de esta línea. Por lo tanto, en teoría, las estrellas están obligadas a permanecer a la izquierda de este límite durante todos los períodos en que se encuentran en equilibrio hidrostático, y la región a la derecha de la línea forma una especie de "zona prohibida". Cabe señalar, sin embargo, que existen excepciones al límite de Hayashi. Estas incluyen protoestrellas en colapso , así como estrellas con campos magnéticos que interfieren con el transporte interno de energía a través de la convección. ^{[ 2 ]}

Las gigantes rojas son estrellas que han expandido su envoltura exterior para sustentar la fusión nuclear del helio. Esto las desplaza hacia arriba y a la derecha en el diagrama HR. Sin embargo, están limitadas por el límite de Hayashi, que les impide expandirse más allá de un cierto radio. Las estrellas que se encuentran más allá del límite de Hayashi presentan grandes corrientes de convección en su interior, impulsadas por enormes gradientes de temperatura. Además, el estado de estas estrellas es inestable, por lo que se ajustan rápidamente, moviéndose en el diagrama de Hertzsprung-Russell hasta alcanzar el límite de Hayashi. ^{[ 3 ]}

Cuando las estrellas de menor masa en la secuencia principal comienzan a expandirse y convertirse en gigantes rojas, vuelven a la trayectoria de Hayashi . El límite de Hayashi restringe la evolución asintótica de la rama gigante de las estrellas, lo cual es importante en la evolución tardía de las estrellas y puede observarse, por ejemplo, en las ramas ascendentes de los diagramas de Hertzsprung-Russell de los cúmulos globulares, que tienen estrellas de aproximadamente la misma edad y composición. ^{[ 4 ]}

El límite de Hayashi recibe su nombre de Chūshirō Hayashi , un astrofísico japonés . ^{[ 5 ]}

A pesar de su importancia para las protoestrellas y las estrellas de la secuencia principal en etapas tardías, el límite de Hayashi solo fue reconocido en el artículo de Hayashi en 1961. Este reconocimiento tardío puede deberse a que las propiedades de la trayectoria de Hayashi requerían cálculos numéricos que no estaban completamente desarrollados con anterioridad. ^{[ 4 ]}

Podemos derivar la relación entre la luminosidad, la temperatura y la presión para un modelo simple de una estrella totalmente convectiva, y a partir de la forma de esta relación podemos inferir el límite de Hayashi. Este es un modelo extremadamente rudimentario de lo que ocurre en las estrellas convectivas, pero presenta una buena concordancia cualitativa con el modelo completo, con menos complicaciones. Seguimos la derivación de Kippenhahn, Weigert y Weiss en Stellar Structure and Evolution. ^{[ 4 ]}

Casi toda la parte interior de las estrellas convectivas tiene una estratificación adiabática (las correcciones a esto son pequeñas para las regiones totalmente convectivas), de tal manera que

${\displaystyle {\frac {\delta \ln T}{\delta \ln P}}=\nabla _{\text{adiabático}}=0.4}$, lo cual es válido para una expansión adiabática de un gas ideal .

Suponemos que esta relación se cumple desde el interior hasta la superficie de la estrella; la superficie se llama fotosfera. Suponemos${\displaystyle \nabla _{\text{adiabático}}}$ser constante en todo el interior de la estrella con valor 0,4. Sin embargo, obtenemos el comportamiento distintivo correcto.

Para el interior, consideramos una relación politrópica simple entre P y T:

${\displaystyle P=CT^{(1+n)}}$

Con el índice${\displaystyle n=3/2}$.

Suponemos que la relación anterior se cumple hasta la fotosfera, donde suponemos que existe una ley de absorción simple.

${\displaystyle \kappa =\kappa _{0}P^{a}T^{b}}$

Luego, utilizamos la ecuación de equilibrio hidrostático y la integramos con respecto al radio para obtener

${\displaystyle P_{0}={\text{Constante}}*\left({\frac {M}{R^{2}}}T_{\text{eff}}^{-b}\right)^{\frac {1}{1+a}}}$

Para la solución en el interior establecimos${\displaystyle P=P_{0}}$ ;${\displaystyle T=T_{\text{eff}}}$en la relación PT y luego eliminar la presión de esta ecuación. La luminosidad viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann aplicada a un cuerpo negro perfecto :

${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma \,T_{\text{eff}}^{4}}$.

Por lo tanto, cualquier valor de R corresponde a un punto determinado en el diagrama de Hertzsprung-Russell.

Finalmente, tras algunos cálculos algebraicos, esta es la ecuación para el límite de Hayashi en el diagrama de Hertzsprung-Russell:

${\displaystyle \log(T_{\text{eff}})=A\log(L)+B\log(M)+{\text{constante}}}$^{[ 4 ]}

Con coeficientes

${\displaystyle A={\frac {0.75a-0.25}{b-5.5a+1.5}}}$, ${\displaystyle B={\frac {0.5a-1.5}{b-5.5a+1.5}}}$

Conclusiones del complemento en${\displaystyle a\approx 1}$y${\displaystyle b\approx 3}$para un modelo de opacidad atmosférica dominado por iones de hidrógeno frío (${\displaystyle T<5000{\text{ K}}}$):

• El límite de Hayashi debe estar muy a la derecha en el diagrama de Hertzsprung-Russell, lo que significa que las temperaturas tienen que ser bajas.
• El límite de Hayashi debe ser muy pronunciado. El gradiente de luminosidad con respecto a la temperatura tiene que ser grande.
• El límite de Hayashi se desplaza ligeramente hacia la izquierda en el diagrama de Hertzsprung-Russell al aumentar M.

Estas predicciones están respaldadas por simulaciones numéricas de estrellas. ^{[ 4 ]}

Hasta ahora no hemos hecho afirmaciones sobre la estabilidad de la localización a la izquierda, a la derecha o en el límite de Hayashi en el diagrama de Hertzsprung-Russell. A la izquierda del límite de Hayashi, tenemos${\displaystyle \nabla <\nabla _{\text{adiabático}}}$y una parte del modelo es radiativa. El modelo es totalmente convectivo en el límite de Hayashi con ${\displaystyle \nabla =\nabla _{\text{adiabático}}}$. Los modelos a la derecha del límite de Hayashi deberían tener${\displaystyle \nabla >\nabla _{\text{adiabático}}}$.

Si una estrella se forma de tal manera que alguna región en su interior profundo tiene grandes${\displaystyle \nabla -\nabla _{\text{adiabático}}>0}$ grandes flujos convectivos con velocidades${\displaystyle v_{\text{convectivo}}\approx (\nabla -\nabla _{\text{adiabático}})/2}$Los flujos convectivos de energía enfrían rápidamente el interior hasta que...${\displaystyle \nabla =\nabla _{\text{adiabático}}}$y la estrella se ha movido al límite de Hayashi. De hecho, se puede demostrar a partir del modelo de longitud de mezcla que incluso un pequeño exceso puede transportar energía desde el interior profundo a la superficie mediante flujos convectivos. Esto ocurrirá dentro de la escala de tiempo corta para el ajuste de la convección, que aún es mayor que las escalas de tiempo para los procesos de no equilibrio en la estrella, como el ajuste hidrodinámico asociado con la escala de tiempo térmica . Por lo tanto, el límite entre una región estable “permitida” (izquierda) y una región inestable “prohibida” (derecha) para estrellas de M y composición dadas que están en equilibrio hidrostático y tienen una convección completamente ajustada es el límite de Hayashi. ^{[ 4 ]}

• Límite de Eddington