Experimento de Haynes-Shockley

En física de semiconductores , el experimento de Haynes-Shockley demostró que la difusión de portadores minoritarios en un semiconductor podía generar una corriente . El experimento fue descrito en un breve artículo de Haynes y Shockley en 1948, ^{[ 1 ]} con una versión más detallada publicada por Shockley , Pearson y Haynes en 1949. ^{[ 2 ] [ 3 ]} El experimento puede utilizarse para medir la movilidad de los portadores , el tiempo de vida de los portadores y el coeficiente de difusión .

En el experimento, una pieza de semiconductor recibe un pulso de huecos , por ejemplo, inducido por un voltaje o un pulso láser corto .

Para observar el efecto, consideramos un semiconductor de tipo n con longitud d . Nos interesa determinar la movilidad de los portadores, la constante de difusión y el tiempo de relajación . A continuación, reducimos el problema a una dimensión.

Las ecuaciones para las corrientes de electrones y huecos son:

${\displaystyle j_{e}=+\mu _{n}nE+D_{n}{\frac {\partial n}{\partial x}}}$

${\displaystyle j_{p}=+\mu _{p}pE-D_{p}{\frac {\partial p}{\partial x}}}$

donde j s son las densidades de corriente de electrones ( e ) y huecos ( p ), μ s las movilidades de los portadores de carga, E es el campo eléctrico , n y p las densidades numéricas de portadores de carga, D s son los coeficientes de difusión y x es la posición. El primer término de las ecuaciones es la corriente de deriva y el segundo término es la corriente de difusión .

Consideramos la ecuación de continuidad :

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {-(n-n_{0})}{\tau _{n}}}+{\frac {\partial j_{e}}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {-(p-p_{0})}{\tau _{p}}}-{\frac {\partial j_{p}}{\partial x}}}$

Los subíndices 0 indican concentraciones de equilibrio. Los electrones y los huecos se recombinan con una vida útil de portador τ.

Nosotros definimos

${\displaystyle p_{1}=p-p_{0}\,,\quad n_{1}=n-n_{0}}$

Por lo tanto, las ecuaciones superiores se pueden reescribir como:

${\displaystyle {\frac {\partial p_{1}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{n}}}}$

En una aproximación simple, podemos considerar que el campo eléctrico es constante entre los electrodos izquierdo y derecho y despreciar ∂ E /∂ x . Sin embargo, como los electrones y los huecos se difunden a diferentes velocidades, el material tiene una carga eléctrica local, lo que induce un campo eléctrico no homogéneo que se puede calcular con la ley de Gauss :

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_{0})-(n-n_{0}))}{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}(p_{1}-n_{1})}{\epsilon \epsilon _ {0}}}}$

donde ε es la permitividad, ε ₀ la permitividad del espacio libre, ρ es la densidad de carga y e ₀ la carga elemental.

A continuación, cambie las variables mediante las siguientes sustituciones:

${\displaystyle p_{1}=n_{\text{media}}+\delta \,,\quad n_{1}=n_{\text{media}}-\delta \,,}$

y supongamos que δ es mucho menor que${\displaystyle n_{\text{media}}}$Las dos ecuaciones iniciales escriben:

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{p}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{n}}}}$

Utilizando la relación de Einstein${\displaystyle \mu =e\beta D}$donde β es el inverso del producto de la temperatura y la constante de Boltzmann , estas dos ecuaciones se pueden combinar:

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau ^{*}}},}$

donde se cumple para D *, μ* y τ*:

${\displaystyle D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(n+p)}{pD_{p}+nD_{n}}}}$,${\displaystyle \mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\mu _{p}(n-p)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}}$y${\displaystyle {\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n}}{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}.}$

Considerando n >> p o p → 0 (que es una buena aproximación para un semiconductor con pocos huecos inyectados), vemos que D * → D _p , μ* → μ _p y 1/τ* → 1/τ _p . El semiconductor se comporta como si solo hubiera huecos viajando en él.

La ecuación final para los portadores es:

${\displaystyle n_{\text{mean}}(x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {(x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}}$

Esto puede interpretarse como una función delta de Dirac que se crea inmediatamente después del pulso. Los huecos comienzan entonces a desplazarse hacia el electrodo donde los detectamos. La señal adquiere entonces forma de curva gaussiana .

Los parámetros μ, D σ y τ se pueden obtener a partir de la forma de la señal.

${\displaystyle \mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}}$

${\displaystyle D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16ln(2)t_{0}}}}$

donde d es la distancia de deriva en el tiempo t ₀ , y δt el ancho del pulso .

• Corriente alterna
• Banda de conducción
• Ecuación de convección-difusión
• Corriente continua
• Corriente de deriva
• Modelo de electrón libre
• Paseo aleatorio

• Applet que simula el experimento de Haynes-Shockley. Archivado el 19 de marzo de 2017 en Wayback Machine.
• Vídeo que explica el experimento original.
• Enfoque educativo del experimento HS