Conducción térmica

La conducción en estado estacionario es aquella en la que la diferencia de temperatura que impulsa la conducción es constante, de modo que (tras un tiempo de equilibrio) la distribución espacial de temperaturas (campo de temperatura) en el objeto conductor no varía. Por lo tanto, todas las derivadas parciales de la temperatura con respecto al espacio pueden ser cero o tener valores distintos de cero, pero todas las derivadas de la temperatura en cualquier punto con respecto al tiempo son uniformemente cero. En la conducción en estado estacionario, la cantidad de calor que entra en cualquier región de un objeto es igual a la cantidad de calor que sale (si no fuera así, la temperatura aumentaría o disminuiría, ya que la energía térmica se extraería o quedaría atrapada en una región).

Por ejemplo, una barra puede estar fría en un extremo y caliente en el otro, pero una vez alcanzado un estado de conducción estacionaria, el gradiente espacial de temperaturas a lo largo de la barra no cambia más con el paso del tiempo. En cambio, la temperatura permanece constante en cualquier sección transversal de la barra perpendicular a la dirección de transferencia de calor, y esta temperatura varía linealmente en el espacio cuando no hay generación de calor en la barra. ^{[ 4 ]}

En la conducción en estado estacionario, todas las leyes de la conducción eléctrica de corriente continua se pueden aplicar a las "corrientes de calor". En estos casos, es posible considerar las "resistencias térmicas" como el análogo de las resistencias eléctricas . En tales casos, la temperatura actúa como voltaje, y el calor transferido por unidad de tiempo (potencia calorífica) es el análogo de la corriente eléctrica. Los sistemas en estado estacionario se pueden modelar mediante redes de dichas resistencias térmicas en serie y en paralelo, en analogía exacta con las redes eléctricas de resistencias. Véanse los circuitos térmicos puramente resistivos para un ejemplo de dicha red.

Durante cualquier período en el que la temperatura varíe con el tiempo en cualquier punto dentro de un objeto, el modo de flujo de energía térmica se denomina conducción transitoria. Otro término es conducción "no estacionaria", que se refiere a la dependencia temporal de los campos de temperatura dentro de un objeto. Las situaciones no estacionarias aparecen tras un cambio de temperatura impuesto en el límite de un objeto. También pueden ocurrir con cambios de temperatura dentro de un objeto, como resultado de una nueva fuente o sumidero de calor introducido repentinamente en su interior, lo que provoca que las temperaturas cercanas a la fuente o al sumidero varíen con el tiempo.

Cuando se produce una nueva perturbación de temperatura de este tipo, las temperaturas dentro del sistema cambian con el tiempo hasta alcanzar un nuevo equilibrio con las nuevas condiciones, siempre que estas permanezcan constantes. Tras alcanzar el equilibrio, el flujo de calor hacia el sistema vuelve a ser igual al flujo de calor hacia afuera, y las temperaturas en cada punto dentro del sistema dejan de variar. Una vez que esto ocurre, la conducción transitoria finaliza, aunque la conducción en estado estacionario puede continuar si el flujo de calor persiste.

Si los cambios en las temperaturas externas o en la generación de calor interna son demasiado rápidos para que se produzca el equilibrio de temperaturas en el espacio, entonces el sistema nunca alcanza un estado de distribución de temperatura constante en el tiempo, y el sistema permanece en un estado transitorio.

Un ejemplo de una nueva fuente de calor que se activa dentro de un objeto, provocando conducción transitoria, es el arranque del motor de un automóvil. En este caso, la fase de conducción térmica transitoria para toda la máquina finaliza, y la fase de estado estacionario aparece tan pronto como el motor alcanza su temperatura de funcionamiento estable . En este estado de equilibrio, las temperaturas varían considerablemente desde los cilindros del motor hasta otras partes del automóvil, pero en ningún punto del espacio dentro del automóvil la temperatura aumenta ni disminuye. Una vez establecido este estado, la fase de conducción transitoria de la transferencia de calor finaliza.

Las nuevas condiciones externas también provocan este proceso: por ejemplo, la barra de cobre del ejemplo de conducción en estado estacionario experimenta una conducción transitoria en cuanto un extremo se somete a una temperatura diferente a la del otro. Con el tiempo, el campo de temperaturas dentro de la barra alcanza un nuevo estado estacionario, en el que se establece un gradiente de temperatura constante a lo largo de la barra, y este gradiente permanece constante. Normalmente, este nuevo gradiente de estado estacionario se alcanza exponencialmente con el tiempo tras la introducción de una nueva fuente o sumidero de calor. Cuando finaliza la fase de "conducción transitoria", el flujo de calor puede continuar a alta potencia, siempre que las temperaturas no varíen.

Un ejemplo de conducción transitoria que no culmina en una conducción estacionaria, sino en la ausencia total de conducción, se produce al dejar caer una bola de cobre caliente en aceite a baja temperatura. En este caso, el campo de temperatura dentro del objeto comienza a variar con el tiempo, a medida que se extrae el calor del metal. El interés reside en analizar este cambio espacial de temperatura dentro del objeto a lo largo del tiempo hasta que todos los gradientes desaparezcan por completo (la bola alcanza la misma temperatura que el aceite). Matemáticamente, esta condición también se alcanza de forma exponencial; en teoría, requiere un tiempo infinito, pero en la práctica, se completa, a todos los efectos, en un período mucho más corto. Al final de este proceso, sin otro disipador de calor que las partes internas de la bola (que son finitas), no se alcanza una conducción de calor estacionaria. Dicho estado nunca se produce en esta situación; más bien, el proceso finaliza cuando no hay conducción de calor en absoluto.

El análisis de sistemas de conducción no estacionarios es más complejo que el de sistemas estacionarios. Si el cuerpo conductor tiene una forma simple, entonces pueden ser posibles expresiones y soluciones matemáticas analíticas exactas (véase la ecuación del calor para el enfoque analítico). ^{[ 5 ]} Sin embargo, con mayor frecuencia, debido a formas complejas con conductividades térmicas variables dentro de la forma (es decir, la mayoría de los objetos, mecanismos o máquinas complejos en ingeniería), a menudo se requiere la aplicación de teorías aproximadas y/o análisis numérico por computadora. Un método gráfico popular implica el uso de diagramas de Heisler .

En ocasiones, los problemas de conducción transitoria pueden simplificarse considerablemente si se identifican regiones del objeto que se calienta o enfría, cuya conductividad térmica es mucho mayor que la de las vías de calor que conducen a dicha región. En este caso, la región de alta conductividad puede tratarse, mediante el modelo de capacitancia concentrada , como un "obstáculo" de material con una capacitancia térmica simple que consiste en su capacidad calorífica agregada . Estas regiones se calientan o enfrían, pero no muestran una variación de temperatura significativa a lo largo de su extensión durante el proceso (en comparación con el resto del sistema). Esto se debe a su conductancia mucho mayor. Por lo tanto, durante la conducción transitoria, la temperatura a través de sus regiones conductoras cambia uniformemente en el espacio y como una simple exponencial en el tiempo. Un ejemplo de estos sistemas son aquellos que siguen la ley de enfriamiento de Newton durante el enfriamiento transitorio (o la inversa durante el calentamiento). El circuito térmico equivalente consiste en un condensador simple en serie con una resistencia. En estos casos, el resto del sistema con una alta resistencia térmica (conductividad comparativamente baja) desempeña el papel de la resistencia en el circuito.

La teoría de la conducción térmica relativista es un modelo compatible con la teoría de la relatividad especial . Durante la mayor parte del siglo pasado, se reconoció que la ecuación de Fourier contradice la teoría de la relatividad, ya que admite una velocidad infinita de propagación de señales térmicas. Por ejemplo, según la ecuación de Fourier, un pulso de calor en el origen se sentiría instantáneamente en el infinito. La velocidad de propagación de la información es mayor que la velocidad de la luz en el vacío, lo cual es físicamente inadmisible dentro del marco de la relatividad.

El segundo sonido es un fenómeno de la mecánica cuántica en el que la transferencia de calor se produce mediante un movimiento ondulatorio , en lugar del mecanismo de difusión habitual . En las ondas sonoras normales, el calor sustituye a la presión, lo que da lugar a una conductividad térmica muy elevada . Se le conoce como «segundo sonido» porque el movimiento ondulatorio del calor es similar a la propagación del sonido en el aire. Este fenómeno se denomina conducción cuántica.

La forma diferencial de la ley de conducción térmica de Fourier muestra que la densidad de flujo de calor local${\displaystyle \mathbf {q} }$es igual al producto de la conductividad térmica${\displaystyle \kappa }$y el gradiente de temperatura local negativo${\displaystyle -\nabla T}$La densidad de flujo de calor es la cantidad de energía que fluye a través de una unidad de área por unidad de tiempo. $${\displaystyle \mathbf {q} =-\kappa \nabla T,}$$ donde (incluidas las unidades del SI )

• ${\displaystyle \mathbf {q} }$es la densidad de flujo de calor local, W /m ² ,
• ${\displaystyle \kappa }$es la conductividad del material , W/(m· K ),
• ${\displaystyle \nabla T}$es el gradiente de temperatura, K/m.

La conductividad térmica${\displaystyle k}$A menudo se trata como una constante, aunque esto no siempre es cierto. Si bien la conductividad térmica de un material generalmente varía con la temperatura, la variación puede ser pequeña en un rango significativo de temperaturas para algunos materiales comunes. En materiales anisotrópicos , la conductividad térmica normalmente varía con la orientación; en este caso${\displaystyle \kappa }$está representado por un tensor de segundo orden . En materiales no uniformes,${\displaystyle \kappa }$Varía según la ubicación espacial.

Para muchas aplicaciones sencillas, la ley de Fourier se utiliza en su forma unidimensional, por ejemplo, en la dirección x : $${\displaystyle q_{x}=-\kappa {\frac {dT}{dx}}.}$$

En un medio isotrópico, la ley de Fourier conduce a la ecuación del calor.$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial z^{2}}}\right)}$$ con una solución fundamental conocida como el núcleo de calor .

Integrando la forma diferencial sobre la superficie total del material.${\displaystyle S}$, llegamos a la forma integral de la ley de Fourier:

${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$${\displaystyle {}={}}$${\displaystyle -\kappa }$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \nabla T\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

donde (incluidas las unidades del SI ):

• ${\displaystyle {\dot {Q}}=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$es la potencia térmica transferida por conducción (en W), derivada temporal del calor transferido${\displaystyle Q}$(en J),
• ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$es un elemento de área de superficie orientada (en m ² ).

La ecuación diferencial anterior , cuando se integra para un material homogéneo de geometría unidimensional entre dos puntos extremos a temperatura constante, da como resultado el flujo de calor. $${\displaystyle Q=-\kappa {\frac {A\Delta t}{L}}\Delta T,}$$ dónde

• ${\displaystyle \Delta t}$es el intervalo de tiempo durante el cual la cantidad de calor${\displaystyle Q}$fluye a través de una sección transversal del material,
• ${\displaystyle A}$es el área de la superficie de la sección transversal,
• ${\displaystyle \Delta T}$es la diferencia de temperatura entre los extremos,
• ${\displaystyle L}$es la distancia entre los extremos.

Se puede definir la resistencia térmica (macroscópica) del material homogéneo unidimensional: $${\displaystyle R={\frac {1}{k}}{\frac {L}{A}}}$$

Con una sencilla ecuación de conducción de calor estacionaria unidimensional que es análoga a la ley de Ohm para una resistencia eléctrica simple : $${\displaystyle \Delta T=R\,{\dot {Q}}}$$

Esta ley constituye la base para la derivación de la ecuación del calor .

Las ecuaciones de conductancia anteriores, escritas en términos de propiedades extensivas , pueden reformularse en términos de propiedades intensivas . Idealmente, las fórmulas para la conductancia deberían producir una magnitud con dimensiones independientes de la distancia, como la ley de Ohm para la resistencia eléctrica,${\displaystyle R=V/I\,\!}$y conductancia,${\displaystyle G=I/V\,\!}$.

De la fórmula eléctrica:${\displaystyle R=\rho x/A}$donde ρ es la resistividad, x es la longitud y A es el área de la sección transversal, tenemos${\displaystyle G=kA/x\,\!}$donde G es la conductancia, k es la conductividad, x es la longitud y A es el área de la sección transversal.

Para el calor, $${\displaystyle U={\frac {kA}{\Delta x}},}$$ donde U es la conductancia.

La ley de Fourier también se puede enunciar como: $${\displaystyle {\dot {Q}}=U\,\Delta T,}$$ análogo a la ley de Ohm,${\displaystyle I=V/R}$o${\displaystyle I=VG.}$

La inversa de la conductancia es la resistencia, R , dada por: $${\displaystyle R={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}},}$$ análogo a la ley de Ohm,${\displaystyle R=V/I.}$

Las reglas para combinar resistencias y conductancias (en serie y en paralelo) son las mismas tanto para el flujo de calor como para la corriente eléctrica.

La conducción a través de paredes cilíndricas (por ejemplo, tuberías) se puede calcular a partir del radio interno,${\displaystyle r_{1}}$, el radio externo,${\displaystyle r_{2}}$, la longitud,${\displaystyle \ell }$y la diferencia de temperatura entre la pared interior y la exterior,${\displaystyle T_{2}-T_{1}}$.

El área de la superficie del cilindro es${\displaystyle A_{r}=2\pi r\ell }$

Cuando se aplica la ecuación de Fourier: $${\displaystyle {\dot {Q}}=-kA_{r}{\frac {dT}{dr}}=-2k\pi r\ell {\frac {dT}{dr}}}$$ y reorganizado: $${\displaystyle {\dot {Q}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr=-2k\pi \ell \int _{T_{1}}^{T_{2}}dT}$$ Entonces, la tasa de transferencia de calor es: $${\displaystyle {\dot {Q}}=2k\pi \ell {\frac {T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}}$$ La resistencia térmica es: $${\displaystyle R_{c}={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}}={\frac {\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k\ell }}}$$ y${\textstyle {\dot {Q}}=2\pi k\ell r_{m}{\frac {T_{1}-T_{2}}{r_{2}-r_{1}}}}$, dónde${\textstyle r_{m}={\frac {r_{2}-r_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}}$Este es el radio logarítmico medio.

La conducción a través de una capa esférica con radio interno,${\displaystyle r_{1}}$y radio externo,${\displaystyle r_{2}}$, se puede calcular de manera similar a como se hace para una cáscara cilíndrica.

El área de la superficie de la esfera es:${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

Resolviendo de manera similar a como se hace para una capa cilíndrica (ver arriba) se obtiene: $${\displaystyle {\dot {Q}}=4k\pi {\frac {T_{1}-T_{2}}{1/{r_{1}}-1/{r_{2}}}}=4k\pi {\frac {(T_{1}-T_{2})r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}}}$$

La transferencia de calor en una interfaz se considera un flujo de calor transitorio. Para analizar este problema, el número de Biot es importante para comprender cómo se comporta el sistema. El número de Biot se determina mediante: $${\displaystyle {\text{Bi}}={\frac {hL}{k}}}$$ El coeficiente de transferencia de calor${\displaystyle h}$, se introduce en esta fórmula y se mide en$${\displaystyle \mathrm {\frac {J}{m^{2}sK}} }$$Si el sistema tiene un número de Biot menor que 0,1, el material se comporta según el enfriamiento newtoniano, es decir, con un gradiente de temperatura despreciable dentro del cuerpo. ^{[ 6 ]} Si el número de Biot es mayor que 0,1, el sistema se comporta como una solución en serie. Sin embargo, existe un gradiente de temperatura notable dentro del material, y se requiere una solución en serie para describir el perfil de temperatura. La ecuación de enfriamiento dada es: $${\displaystyle q=-h\,\Delta T,}$$ Esto conduce a la forma adimensional del perfil de temperatura en función del tiempo: $${\displaystyle {\frac {T-T_{f}}{T_{i}-T_{f}}}=\exp \left({\frac {-hAt}{\rho C_{p}V}}\right).}$$ Esta ecuación muestra que la temperatura disminuye exponencialmente con el tiempo, y la velocidad está determinada por las propiedades del material y el coeficiente de transferencia de calor. ^{[ 7 ]} El coeficiente de transferencia de calor , h , se mide en${\displaystyle \mathrm {\frac {W}{m^{2}K}} }$y representa la transferencia de calor en la interfaz entre dos materiales. Este valor es diferente en cada interfaz y es un concepto importante para comprender el flujo de calor en una interfaz.

La solución en serie se puede analizar con un nomograma . Un nomograma tiene una temperatura relativa como coordenada y y el número de Fourier, que se calcula mediante $${\displaystyle {\text{Fo}}={\frac {\alpha t}{L^{2}}}.}$$

El número de Biot aumenta a medida que disminuye el número de Fourier. Hay cinco pasos para determinar un perfil de temperatura en función del tiempo.

1. Calcula el número de Biot.
2. Determina qué profundidad relativa importa, si x o L.
3. Convierte el tiempo al número de Fourier.
4. Convertir${\displaystyle T_{i}}$a la temperatura relativa con las condiciones de contorno.
5. Comparado requerido para señalar el número de Biot de traza especificado en el nomograma.

El enfriamiento por salpicadura es un método para enfriar pequeñas gotas de materiales fundidos mediante contacto rápido con una superficie fría. Las partículas experimentan un proceso de enfriamiento característico, con el perfil de calor en${\displaystyle t=0}$para la temperatura inicial como el máximo en${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle T=0}$en${\displaystyle x=-\infty }$y${\displaystyle x=\infty }$y el perfil de calor en${\displaystyle t=\infty }$para${\displaystyle -\infty \leq x\leq \infty }$como condiciones de contorno. El enfriamiento por salpicadura termina rápidamente en una temperatura de estado estacionario y es similar en forma a la ecuación de difusión gaussiana. El perfil de temperatura, con respecto a la posición y el tiempo de este tipo de enfriamiento, varía con: $${\displaystyle T(x,t)-T_{i}={\frac {T_{i}\Delta X}{2{\sqrt {\pi \alpha t}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\alpha t}}\right)}$$

El enfriamiento por salpicadura es un concepto fundamental que se ha adaptado para su uso práctico en la forma de pulverización térmica . El coeficiente de difusividad térmica , representado como${\displaystyle \alpha }$, se puede escribir como${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho C_{p}}}}$Esto varía según el material. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

El temple de metales es un proceso transitorio de transferencia de calor en términos de la transformación tiempo-temperatura (TTT). Es posible manipular el proceso de enfriamiento para ajustar la fase de un material adecuado. Por ejemplo, un temple apropiado del acero puede convertir una proporción deseable de su contenido de austenita en martensita , creando un producto muy duro y resistente. Para lograr esto, es necesario templar en la "nariz" (o eutéctico ) del diagrama TTT. Dado que los materiales difieren en sus números de Biot , el tiempo que tarda el material en templarse, o el número de Fourier , varía en la práctica. ^{[ 10 ]} En el acero, el rango de temperatura de temple es generalmente de 600  °C a 200  °C. Para controlar el tiempo de temple y seleccionar el medio de temple adecuado, es necesario determinar el número de Fourier a partir del tiempo de temple deseado, la caída de temperatura relativa y el número de Biot correspondiente. Por lo general, los valores correctos se leen de un nomograma estándar . Calculando el coeficiente de transferencia de calor a partir de este número de Biot, se puede encontrar un medio líquido adecuado para la aplicación. ^{[ 11 ]}

La conductividad térmica de cualquier gas en condiciones estándar de presión y temperatura es una magnitud fija. Por lo tanto, esta propiedad de un gas de referencia conocido o de mezclas de gases de referencia conocidas puede utilizarse en ciertas aplicaciones de detección, como el analizador de conductividad térmica.

El funcionamiento de este instrumento se basa en el principio del puente de Wheatstone, que contiene cuatro filamentos con resistencias iguales. Cuando un gas determinado pasa a través de esta red de filamentos, su resistencia cambia debido a la variación de la conductividad térmica de los filamentos, modificando así la tensión neta de salida del puente de Wheatstone. Esta tensión se correlaciona con la base de datos para identificar la muestra de gas.

El principio de conductividad térmica de los gases también puede utilizarse para medir la concentración de un gas en una mezcla binaria de gases.

Funcionamiento: Si el mismo gas está presente alrededor de todos los filamentos del puente de Wheatstone, se mantiene la misma temperatura en todos ellos y, por lo tanto, también se mantienen las mismas resistencias; lo que resulta en un puente de Wheatstone equilibrado. Sin embargo, si la muestra de gas (o mezcla de gases) diferente pasa por un conjunto de dos filamentos y el gas de referencia por el otro conjunto de dos filamentos, el puente de Wheatstone se desequilibra. La tensión neta resultante del circuito se correlacionará con la base de datos para identificar los componentes del gas de muestra.

Mediante esta técnica, se pueden identificar muchas muestras de gases desconocidos comparando su conductividad térmica con la de un gas de referencia de conductividad térmica conocida. El gas de referencia más utilizado es el nitrógeno, ya que la conductividad térmica de la mayoría de los gases comunes (excepto el hidrógeno y el helio) es similar a la del nitrógeno.