Método de encubrimiento de Heaviside

El método de encubrimiento de Heaviside , llamado así en honor a Oliver Heaviside , es una técnica para determinar rápidamente los coeficientes al realizar la expansión en fracciones parciales de una función racional en el caso de factores lineales. ^[1]^[2]^[3]^[4]

Método

La separación de una expresión algebraica fraccionaria en fracciones parciales es el proceso inverso de combinar fracciones, convirtiendo cada fracción al mínimo común denominador (MCD) y sumando los numeradores. Esta separación se puede lograr mediante el método de encubrimiento de Heaviside, otro método para determinar los coeficientes de una fracción parcial. El caso uno tiene expresiones fraccionarias donde los factores en el denominador son únicos. El caso dos tiene expresiones fraccionarias donde algunos factores pueden repetirse como potencias de un binomio.

En cálculo integral, querríamos escribir una expresión algebraica fraccionaria como la suma de sus fracciones parciales para tomar la integral de cada fracción simple por separado. Una vez que el denominador original, D ₀ , se ha factorizado, establecemos una fracción para cada factor en el denominador . Podemos usar un subíndice D para representar el denominador de las respectivas fracciones parciales que son los factores en D ₀ . Las letras A, B, C, D, E, etc. representarán los numeradores de las respectivas fracciones parciales. Cuando un término de fracción parcial tiene un binomio único (es decir, no repetido) en el denominador, el numerador es un residuo de la función definida por la fracción de entrada.

Calculamos cada numerador respectivo (1) tomando la raíz del denominador (es decir, el valor de x que hace que el denominador sea cero) y (2) sustituyendo luego esta raíz en la expresión original pero ignorando el factor correspondiente en el denominador. Cada raíz de la variable es el valor que daría un valor indefinido a la expresión ya que no dividimos por cero.

Fórmula general para un denominador cúbico con tres raíces distintas :

{\frac {\ell x^{2}+mx+n}{(x-a)(x-b)(x-c)}}={\frac {A}{(x-a)}}+{\frac {B}{(x-b)}}+{\frac {C}{(x-c)}}

Dónde

A={\frac {\ell a^{2}+ma+n}{(a-b)(a-c)}};

Y donde

B={\frac {\ell b^{2}+mb+n}{(b-c)(b-a)}};

Y donde

C={\frac {\ell c^{2}+mc+n}{(c-a)(c-b)}}.

Caso uno

Factoriza la expresión en el denominador. Crea una fracción parcial para cada factor del denominador. Aplica la regla de encubrimiento para hallar el nuevo numerador de cada fracción parcial.

Ejemplo

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)(x+3)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}+{\frac {C}{x+3}}

Establezca una fracción parcial para cada factor en el denominador. Con este marco , aplicamos la regla de encubrimiento para resolver A , B y C.

D ₁ es x + 1; configúrelo igual a cero. Esto da el residuo para A cuando x = −1.
A continuación, sustituya este valor de x en la expresión fraccionaria, pero sin D ₁ .
Coloque este valor como el valor de A.

Proceda de manera similar para B y C.

D ₂ es x + 2; Para el residuo B use x = −2.

D ₃ es x + 3; Para el residuo C use x = −3.

Por lo tanto, para resolver A , utilizamos x = −1 en la expresión pero sin D ₁ :

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+2)(x+3)}}={\frac {3-12+11}{(1)(2)}}={\frac {2}{2}}=1=A.

Por lo tanto, para resolver B , utilizamos x = −2 en la expresión pero sin D ₂ :

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+3)}}={\frac {12-24+11}{(-1)(1)}}={\frac {-1}{(-1)}}=+1=B.

Por lo tanto, para resolver C , utilizamos x = −3 en la expresión pero sin D ₃ :

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)}}={\frac {27-36+11}{(-2)(-1)}}={\frac {2}{(+2)}}=+1=C.

De este modo,

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)(x+3)}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x+2}}+{\frac {1}{x+3}}

Caso dos

Cuando los factores del denominador incluyen potencias de una expresión,

Establezca una fracción parcial para cada factor único y cada potencia inferior de D;
Establezca una ecuación que muestre la relación de los numeradores si todos se convirtieran al MCD.

A partir de la ecuación de numeradores, calculamos cada numerador: A, B, C, D, etc. Esta ecuación de numeradores es una identidad absoluta, válida para todos los valores de x. Por lo tanto, podemos seleccionar cualquier valor de x y calcular el numerador.

Ejemplo

{\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{1-2x}}

Aquí, establecemos una fracción parcial para cada potencia descendente del denominador. Luego, resolvemos para los numeradores, A y B. Como es un factor repetido, ahora necesitamos encontrar dos números, por lo que necesitamos una relación adicional para resolver ambos. Para escribir la relación de numeradores, la segunda fracción necesita otro factor de para convertirla al MCD, lo que nos da . En general, si un factor binomial se eleva a la potencia de , entonces se necesitarán constantes , cada una de las cuales aparece dividida por potencias sucesivas, , donde va de 1 a . La regla de encubrimiento se puede utilizar para encontrar , pero aún así es lo que se llama residuo . Aquí, , , y $(1-2x)$ $(1-2x)$ $3x+5=A+B(1-2x)$ $n$ $n$ $A_{k}$ $(1-2x)^{k}$ $k$ $n$ $A_{n}$ $A_{1}$ $n=2$ $A=A_{2}$ $B=A_{1}$

Para resolver : $A$

$A$ se puede resolver estableciendo el denominador de la primera fracción en cero, . $1-2x=0$

Resolviendo para se obtiene el valor de encubrimiento para : cuando . $x$ $A$ $x=1/2$

Cuando sustituimos este valor, , obtenemos: $x=1/2$

3\left({\frac {1}{2}}\right)+5=A+B(0)

A={\frac {3}{2}}+5={\frac {13}{2}}

Para resolver : $B$

Dado que la ecuación de los numeradores, aquí, , es verdadera para todos los valores de , elija un valor para y úselo para resolver . $3x+5=A+B(1-2x)$ $x$ $x$ $B$

Como hemos resuelto el valor de arriba, , podemos usar ese valor para resolver . $A$ $A=13/2$ $B$

Podemos elegir , usar y luego resolver para : $x=0$ $A=13/2$ $B$

{\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\0+5&={\frac {13}{2}}+B(1+0)\\{\frac {10}{2}}&={\frac {13}{2}}+B\\-{\frac {3}{2}}&=B\\\end{aligned}}

Podemos elegir , luego resolver para : $x=1$ $B$

{\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\3+5&={\frac {13}{2}}+B(1-2)\\8&={\frac {13}{2}}+B(-1)\\{\frac {16}{2}}&={\frac {13}{2}}-B\\B&=-{\frac {3}{2}}\end{aligned}}

Podemos elegir . Resolver para : $x=-1$ $B$

{\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\-3+5&={\frac {13}{2}}+B(1+2)\\{\frac {4}{2}}&={\frac {13}{2}}+3B\\-{\frac {9}{2}}&=3B\\-{\frac {3}{2}}&=B\end{aligned}}

Por eso,

{\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}},

o

{\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13}{2(1-2x)^{2}}}-{\frac {3}{2(1-2x)}}

Referencias

^ Cálculo y geometría analítica, séptima edición, Thomas/Finney, 1988, págs. 482-489
^ Zill, Dennis G.; Wright, Warren S. (2013). "Capítulo 7: La transformada de Laplace". Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera (8.ª ed.). Brooks/Cole Cengage Learning. págs. 287–88. ISBN 978-1-111-82706-9.
^ Thomas, George B .; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). "Capítulo 8: Técnicas de integración". Cálculo de Thomas: primeros trascendentales (12.ª ed.). Addison-Wesley. págs. 476–78. ISBN 978-0-321-58876-0.
^ Wiener, Joseph; Watkins, Will (otoño de 1993 – primavera de 1994). "Del cálculo al álgebra en relación con la descomposición en fracciones parciales". The AMATYC Review . 15 (1–2): 28–30.

Enlaces externos

http://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma225/handouts/heavyside.pdf
MIT 18.03 Notas sobre el método de encubrimiento de Heaviside por el profesor Arthur Mattuck .

[1] Cálculo y geometría analítica, séptima edición, Thomas/Finney, 1988, págs. 482-489

[2] Zill, Dennis G.; Wright, Warren S. (2013). "Capítulo 7: La transformada de Laplace". Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera (8.ª ed.). Brooks/Cole Cengage Learning. págs. 287–88. ISBN 978-1-111-82706-9.

[:7-3] Thomas, George B .; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). "Capítulo 8: Técnicas de integración". Cálculo de Thomas: primeros trascendentales (12.ª ed.). Addison-Wesley. págs. 476–78. ISBN 978-0-321-58876-0.

[4] Wiener, Joseph; Watkins, Will (otoño de 1993 – primavera de 1994). "Del cálculo al álgebra en relación con la descomposición en fracciones parciales". The AMATYC Review . 15 (1–2): 28–30.