función escalón de Heaviside

La función escalón de Heaviside , o función escalón unitario , generalmente denotada por H o ​​θ (aunque a veces por u , 1 o 1 ), es una función escalón que recibe su nombre de Oliver Heaviside , cuyo valor es cero para argumentos negativos y uno para argumentos positivos. Existen diferentes convenciones respecto al valor H (0) . Es un ejemplo de la clase general de funciones escalón, todas las cuales pueden representarse como combinaciones lineales de traslaciones de esta.

La función se desarrolló originalmente en el cálculo operacional para la solución de ecuaciones diferenciales , donde representa una señal que se activa en un momento específico y permanece activada indefinidamente. Heaviside desarrolló el cálculo operacional como una herramienta en el análisis de las comunicaciones telegráficas y representó la función como 1 .

Tomando la convención de que H (0) = 1 , la función de Heaviside se puede definir como:

• Una función por partes :$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• Utilizando la notación de corchetes de Iverson :$${\displaystyle H(x):=[x\geq 0]}$$
• Una función indicadora :$${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)}$$

Para la convención alternativa de que H (0) = 1 / 2 , se puede expresar como :

• Una función por partes :$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• Una transformación lineal de la función signo :$${\displaystyle H(x):={\frac {1}{2}}\left({\mbox{sgn}}\,x+1\right)}$$
• La media aritmética de dos corchetes de Iverson :$${\displaystyle H(x):={\frac {[x\geq 0]+[x>0]}{2}}}$$
• Un límite unilateral de la arcotangente de dos argumentos :$${\displaystyle H(x)=:\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{\frac {{\mbox{atan2}}(\epsilon ,-x)}{\pi }}}$$
• Una hiperfunción :$${\displaystyle H(x)=:\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right)}$$O equivalentemente:$${\displaystyle H(x)=:\left(-{\frac {\log -z}{2\pi i}},-{\frac {\log -z}{2\pi i}}\right),}$$donde log z es el valor principal del logaritmo complejo de z .

Otras definiciones que no están definidas en H (0) incluyen:

• Una función por partes :$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• La derivada de la función rampa :$${\displaystyle H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{para }}x\neq 0}$$
• Expresado en términos de la función de valor absoluto , como por ejemplo:$${\displaystyle H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}}$$

La función delta de Dirac es la derivada débil de la función de Heaviside:$${\displaystyle \delta (x)={\frac {d}{dx}}\ H(x),}$$Por lo tanto, la función de Heaviside puede considerarse como la integral de la función delta de Dirac. Esto a veces se escribe como:$${\displaystyle H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds,}$$Aunque esta expansión podría no ser válida (o incluso no tener sentido) para x = 0 , dependiendo del formalismo que se utilice para dar significado a las integrales que involucran δ . En este contexto, la función de Heaviside es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria que es casi seguramente 0. (Véase Variable aleatoria constante ).

Las aproximaciones a la función escalón de Heaviside son útiles en bioquímica y neurociencia , donde las aproximaciones logísticas de las funciones escalón (como las ecuaciones de Hill y Michaelis-Menten ) pueden usarse para aproximar interruptores celulares binarios en respuesta a señales químicas.

Para obtener una aproximación suave a la función escalón, se puede utilizar la función logística :$${\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$$donde un valor de k mayor corresponde a una transición más abrupta en x = 0 .

Si tomamos H (0) = 1 / 2 , la igualdad se cumple en el límite:$${\displaystyle H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$$

Existen muchas otras aproximaciones analíticas suaves a la función escalón. ^{[ 1 ]} Entre las posibilidades se encuentran:$${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}$$Estos límites se cumplen puntualmente y en el sentido de las distribuciones . Sin embargo, en general, la convergencia puntual no implica necesariamente la convergencia distribucional, y viceversa. (No obstante, si todos los elementos de una sucesión de funciones puntualmente convergentes están uniformemente acotados por alguna función "apropiada", entonces la convergencia también se cumple en el sentido de las distribuciones ).

También se podría utilizar una función sigmoide escalada y desplazada .

En general, cualquier función de distribución acumulativa de una distribución de probabilidad continua que tenga un pico alrededor de cero y un parámetro que controle la varianza puede servir como aproximación, en el límite cuando la varianza tiende a cero. Por ejemplo, las tres aproximaciones mencionadas anteriormente son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad comunes: la logística , la distribución de Cauchy y la distribución normal , respectivamente.

Se podrían realizar aproximaciones a la función escalón de Heaviside mediante una función de transición suave como${\displaystyle 1\leq m\to \infty }$:$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\tanh \left(m{\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)\right)},&|x|<1\\\\1,&x\geq 1\\0,&x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$$

A menudo resulta útil una representación integral de la función escalón de Heaviside:$${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\ {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$donde la segunda representación es fácil de deducir de la primera, dado que la función escalón es real y por lo tanto es su propio conjugado complejo .

Dado que H se usa habitualmente en la integración , y el valor de una función en un punto no afecta a su integral, rara vez importa qué valor particular se elija para H (0) . De hecho, cuando H se considera como una distribución o un elemento de L ^∞ (véase el espacio L ^p ), ni siquiera tiene sentido hablar de un valor en cero, ya que tales objetos solo están definidos casi en todas partes . Si se utiliza alguna aproximación analítica (como en los ejemplos anteriores ), entonces a menudo se usa el límite relevante en cero.

Existen diversas razones para elegir un valor en particular.

• H (0) = 1 / 2 se usa a menudo ya que la gráfica tiene simetría rotacional ; dicho de otro modo, H − 1 / 2 es entonces una función impar . En este caso , la siguiente relación con la función signo se cumple para todo x :$${\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).}$$También,${\displaystyle \forall x,\ H(x)+H(-x)=1}$.
• H (0) = 1 se utiliza cuando H necesita ser continua por la derecha . Por ejemplo, las funciones de distribución acumulativa suelen considerarse continuas por la derecha, al igual que las funciones integradas en la integración de Lebesgue-Stieltjes . En este caso, H es la función indicadora de unintervalo semiinfinito cerrado :$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).}$$La distribución de probabilidad correspondiente es la distribución degenerada .
• H (0) = 0 se utiliza cuando H necesita ser continua por la izquierda . En este caso, H es una función indicadora de unintervalo semiinfinito abierto :$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _ {(0,\infty )}(x).}$$
• En contextos de análisis funcional de optimización y teoría de juegos , a menudo es útil definir la función de Heaviside como una función multivaluada para preservar la continuidad de las funciones límite y asegurar la existencia de ciertas soluciones. En estos casos, la función de Heaviside devuelve un intervalo completo de posibles soluciones, H (0) = [0,1] .

Una forma alternativa del paso unitario, definida en cambio como una función.${\displaystyle H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} }$(es decir, tomando una variable discreta n ), es:$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}$$O utilizando la convención de la mitad del máximo: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}$$donde n es un número entero . Si n es un número entero, entonces n < 0 debe implicar que n ≤ − 1 , mientras que n > 0 debe implicar que la función alcanza la unidad en n = 1. Por lo tanto, la "función escalón" exhibe un comportamiento de rampa en el dominio de [ − 1, 1 ] , y no puede ser auténticamente una función escalón, utilizando la convención de la mitad del máximo.

A diferencia del caso continuo, la definición de H [0] es significativa.

El impulso unitario de tiempo discreto es la primera diferencia del paso de tiempo discreto:$${\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].}$$Esta función es la suma acumulativa del delta de Kronecker :$${\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k],}$$dónde${\textstyle \delta [k]=\delta _ {k,0}}$es la función de impulso unitario discreto .

La función rampa es una antiderivada de la función escalón de Heaviside:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.}$$La derivada distribucional de la función escalón de Heaviside es la función delta de Dirac :$${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.}$$

La transformada de Fourier de la función escalón de Heaviside es una distribución. Utilizando una elección de constantes para la definición de la transformada de Fourier, tenemos: $${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).}$$Aquí pv ⁠ 1 / s ⁠ es la distribución que toma una función de prueba φ al valor principal de Cauchy de${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds}$. El límite que aparece en la integral también se toma en el sentido de distribuciones (templadas).

La transformada de Laplace de la función escalón de Heaviside es una función meromorfa . Usando la transformada de Laplace unilateral tenemos:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$$

Cuando se utiliza la transformación bilateral , la integral se puede dividir en dos partes y el resultado será el mismo.

• Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas, NIST,.
• Berg, Ernst Julius (1936). "Función unitaria". Cálculo operacional de Heaviside, aplicado a la ingeniería y la física . McGraw-Hill Education . pág.  5.
• Calvert, James B. (2002). "Heaviside, Laplace y la integral de inversión" . Universidad de Denver .
• Davies, Brian (2002). "Función escalón de Heaviside". Transformadas integrales y sus aplicaciones (3.ª  ed.). Springer. pág.  28.
• Duff, George FD ; Naylor, D. (1966). "Función unitaria de Heaviside". Ecuaciones diferenciales de matemáticas aplicadas . John Wiley & Sons . pág.  42.