Conjunto de Heilbronn

En matemáticas, un conjunto de Heilbronn es un conjunto infinito S de números naturales para el cual cada número real puede aproximarse arbitrariamente bien mediante una fracción cuyo denominador está en S. Para cualquier número real dado ${\displaystyle \theta }$y número natural${\displaystyle h}$, es fácil encontrar el número entero${\displaystyle g}$de tal manera que${\displaystyle g/h}$es lo más cercano a${\displaystyle \theta }$Por ejemplo, para el número real${\displaystyle \pi }$y${\displaystyle h=100}$tenemos${\displaystyle g=314}$. Si llamamos cercanía de${\displaystyle \theta }$a${\displaystyle g/h}$la diferencia entre${\displaystyle h\theta }$y${\displaystyle g}$, la cercanía siempre es menor que 1/2 (en nuestro ejemplo es 0,15926...). Una colección de números es un conjunto de Heilbronn si para cualquier${\displaystyle \theta }$siempre podemos encontrar una secuencia de valores para${\displaystyle h}$en el conjunto donde la cercanía tiende a cero.

Más matemáticamente, dejemos que${\displaystyle \|\alpha \|}$denota la distancia desde${\displaystyle \alpha }$al entero más cercano entonces${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es un conjunto de Heilbronn si y solo si para cada número real${\displaystyle \theta }$y cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$de tal manera que${\displaystyle \|h\theta \|<\varepsilon }$. ^{[ 1 ]}

Los números naturales son un conjunto de Heilbronn como lo demuestra el teorema de aproximación de Dirichlet, que existe${\displaystyle q<[1/\varepsilon ]}$con${\displaystyle \|q\theta \|<\varepsilon }$.

El${\displaystyle k}$Las potencias de los enteros son un conjunto de Heilbronn. Esto se deduce de un resultado de IM Vinogradov , quien demostró que para cada${\displaystyle N}$y${\displaystyle k}$existe un exponente${\displaystyle \eta _{k}>0}$y${\displaystyle q<N}$de tal manera que${\displaystyle \|q^{k}\theta \|\ll N^{-\eta _{k}}}$. ^{[ 2 ]} En el caso${\displaystyle k=2}$Hans Heilbronn pudo demostrar que${\displaystyle \eta _{2}}$puede tomarse arbitrariamente cerca de 1/2. ^{[ 3 ]} Alexandru Zaharescu ha mejorado el resultado de Heilbronn para demostrar que${\displaystyle \eta _{2}}$puede tomarse arbitrariamente cerca de 4/7. ^{[ 4 ]}

Cualquier conjunto de Van der Corput es también un conjunto de Heilbronn.

Las potencias de 10 no son un conjunto de Heilbronn. Toma${\displaystyle \varepsilon =0.001}$entonces la declaración de que${\displaystyle \|10^{k}\theta \|<\varepsilon }$para algunos${\displaystyle k}$es equivalente a decir que la expansión decimal de${\displaystyle \theta }$tiene una racha de tres ceros o tres nueves en algún lugar. Esto no es cierto para todos los números reales.