Teorema de selección de Helly

En matemáticas , el teorema de selección de Helly (también llamado principio de selección de Helly ) establece que una sucesión uniformemente acotada de funciones reales monótonas admite una subsucesión convergente . En otras palabras, es un teorema de compacidad secuencial para el espacio de funciones monótonas uniformemente acotadas. Recibe su nombre del matemático austriaco Eduard Helly . Una versión más general del teorema afirma la compacidad del espacio BV _loc de funciones localmente de variación total acotada que están uniformemente acotadas en un punto.

El teorema tiene aplicaciones en todo el análisis matemático . En la teoría de la probabilidad , el resultado implica la compacidad de una familia compacta de medidas .

Enunciado del teorema

Sea ( f _n ) _{n ∈ N} una sucesión de funciones crecientes que mapean un intervalo real I en la recta real R , y supongamos que está uniformemente acotada: hay a,b ∈ R tales que a ≤ f _n ≤ b para todo n ∈ N . Entonces la sucesión ( f _n ) _n_∈_N admite una subsucesión puntualmente convergente.

Prueba

La demostración requiere los hechos básicos sobre funciones monótonas : una función creciente f en un intervalo I tiene como máximo una cantidad numerable de puntos de discontinuidad.

Paso 1. Construcción inductiva de una subsecuencia que converge en discontinuidades y racionales (proceso diagonal).

Dejar $A_{n}=\{x\in I;f_{n}(y)\not \rightarrow f_{n}(x){\text{ cuando }}y\to x\}$ sea el conjunto de discontinuidades de $f_{n}$ ; cada uno de estos conjuntos es contable por el hecho básico anterior. El conjunto $A:=\left(\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\cup (I\cap \mathbb {Q} )$ es contable y puede denotarse como $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ .

Por la acotación uniforme de $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ y el teorema de Bolzano-Weierstrass , existe una subsucesión $\{f_{n}^{(1)}\}_{n=1}^{\infty }$ de tal manera que $\{f_{n}^{(1)}(a_{1})\}_{n=1}^{\infty }$ converge. Supongamos $\{f_{n}^{(k)}\}_{n=1}^{\infty }$ ha sido elegido de tal manera que $\{f_{n}^{(k)}(a_{i})\}_{n=1}^{\infty }$ converge para $i=1,\dots ,k$ , entonces por acotación uniforme y Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión $\{f_{n}^{(k+1)}\}_{n=1}^{\infty }$ de $\{f_{n}^{(k)}\}_{n=1}^{\infty }$ de tal manera que $\{f_{n}^{(k)}(a_{k+1})\}_{n=1}^{\infty }$ converge, por lo tanto $\{f_{n}^{(k+1)}(a_{i})\}_{n=1}^{\infty }$ converge para $i=1,\dots ,k+1$ .

Dejar $g_{k}=f_{k}^{(k)}$ , entonces $\{g_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ es una subsecuencia de $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ que converge puntualmente en todas partes en $A$ .

Paso 2. g _k converge en I excepto posiblemente en un conjunto como máximo numerable.

Dejar $h_{k}(x)=\sup _{a\leq x,a\in A}g_{k}(a)$ , entonces, h _k (a)=g _k (a) para a ∈ A , h _k es creciente, sea $h(x)=\limsup \limits _ {k\rightarrow \infty }h_{k}(x)$ , entonces h es creciente, ya que los supremos y los límites de las funciones crecientes son crecientes, y $h(a)=\lim \limits _{k\rightarrow \infty }g_{k}(a)$ para a ∈ A por el Paso 1. Además, h tiene como máximo una cantidad numerable de discontinuidades.

Demostraremos que g _k converge en todas las continuidades de h . Sea x una continuidad de h , q,r ∈ A, q<x<r , entonces $g_{k}(q)-h(r)\leq g_{k}(x)-h(x)\leq g_{k}(r)-h(q)$ ,por eso

$\limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq \limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(r)-h(q){\bigr )}=h(r)-h(q)$

$h(q)-h(r)=\liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(q)-h(r){\bigr )}\leq \liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}$

De este modo,

$h(q)-h(r)\leq \liminf \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq \limsup \limits _{k\rightarrow \infty }{\bigl (}g_{k}(x)-h(x){\bigr )}\leq h(r)-h(q)$

Dado que h es continua en x , tomando los límites $q\uparrow x,r\downarrow x$ , tenemos $h(q),h(r)\rightarrow h(x)$ , de este modo $\lim \limits _{k\rightarrow \infty }g_{k}(x)=h(x)$

Paso 3. Elegir una subsecuencia de g _k que converja puntualmente en I

Esto se puede hacer con un proceso diagonal similar al Paso 1 .

Con los pasos anteriores hemos construido una subsecuencia de ( f _n ) _{n ∈ N} que converge puntualmente en I.

Generalización a BV _loc

Sea U un subconjunto abierto de la recta real y sea f _n : U → R , n ∈ N , una sucesión de funciones. Supongamos que ( f _n ) tiene variación total uniformemente acotada en cualquier W que esté compactamente incrustado en U . Es decir, para todos los conjuntos W ⊆ U con cierre compacto W̄ ⊆ U ,

\sup _{n\in \mathbf {N} }\left(\|f_{n}\|_{L^{1}(W)}+\|{\frac {\mathrm {d} f_{n}}{\mathrm {d} t}}\|_{L^{1}(W)}\right)<+\infty ,

donde la derivada se toma en el sentido de distribuciones temperadas .

Entonces, existe una subsucesión f _{n _k} , k ∈ N , de f _n y una función f : U → R , localmente de variación acotada , tal que

f _{n _k} converge a f puntualmente casi en todas partes ;
y f _{n _k} converge a f localmente en L ¹ (ver función localmente integrable ), es decir, para todo W incrustado de forma compacta en U ,

\lim _{k\to \infty }\int _{W}{\big |}f_{n_{k}}(x)-f(x){\big |}\,\mathrm {d} x=0;

^{[ 1 ]}^{: 132}

y, para W incrustado de forma compacta en U ,

\left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\leq \liminf _{k\to \infty }\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n_{k}}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}.

^{[ 1 ]}^{: 122}

Generalizaciones adicionales

Existen muchas generalizaciones y refinamientos del teorema de Helly . El siguiente teorema, para funciones BV que toman valores en espacios de Banach , se debe a Barbu y Precupanu:

Sea X un espacio de Hilbert reflexivo y separable , y sea E un subconjunto cerrado y convexo de X. Sea Δ : X → [0, +∞) definida positiva y homogénea de grado uno . Supongamos que z _n es una sucesión uniformemente acotada en BV([0, T ]; X ) con z _n ( t ) ∈ E para todo n ∈ N y t ∈ [0, T ]. Entonces existe una subsucesión z _n_{_k} y funciones δ , z ∈ BV([0, T ]; X ) tales que

para todo t ∈ [0, T ],

\int _{[0,t)}\Delta (\mathrm {d} z_{n_{k}})\to \delta (t);

y, para todo t ∈ [0, T ],

z_{n_{k}}(t)\rightharpoonup z(t)\in E;

y, para todo 0 ≤ s < t ≤ T ,

\int _{[s,t)}\Delta (\mathrm {d} z)\leq \delta (t)-\delta (s).

Véase también

Referencias

1 2 Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego (2000). Funciones de variación acotada y problemas de discontinuidad libre . Oxford University Press. doi : 10.1093/oso/9780198502456.001.0001 . ISBN 9780198502456.

Rudin, W. (1976). Principios de análisis matemático . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill. 167. ISBN 978-0070542358.

Barbu, V.; Precupanu, Th. (1986). Convexidad y optimización en espacios de Banach . Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este). Vol. 10 (Segunda edición rumana). Dordrecht: D. Reidel Publishing Co. xviii+397. ISBN 90-277-1761-3.MR 0860772

[10.1093/oso/9780198502456.001.0001-1] 1 2 Ambrosio, Luigi; Fusco, Nicola; Pallara, Diego (2000). Funciones de variación acotada y problemas de discontinuidad libre . Oxford University Press. doi : 10.1093/oso/9780198502456.001.0001 . ISBN 9780198502456.

[ 1 ]

Enunciado del teorema

Prueba

Paso 1. Construcción inductiva de una subsecuencia que converge en discontinuidades y racionales (proceso diagonal).

Paso 2. g k converge en I excepto posiblemente en un conjunto como máximo numerable.

Paso 3. Elegir una subsecuencia de g k que converja puntualmente en I

Generalización a BV loc