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Bobina de Helmholtz

Una bobina de Helmholtz Dibujo esquemático de la bobina de Helmholtz Una bobina de Helmholtz es un dispositivo para generar un campo magnético casi uniforme , que recibe su nomb...

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Una bobina de Helmholtz
Dibujo esquemático de la bobina de Helmholtz

Una bobina de Helmholtz es un dispositivo para generar un campo magnético casi uniforme , que recibe su nombre del físico alemán Hermann von Helmholtz . Consta de dos electroimanes situados en el mismo eje, que transportan una corriente eléctrica igual en la misma dirección. Además de crear campos magnéticos, las bobinas de Helmholtz también se utilizan en aparatos científicos para anular campos magnéticos externos, como el campo magnético terrestre.

Un haz de rayos catódicos en un tubo de vacío se curva formando un círculo mediante una bobina de Helmholtz.

Descripción

Un par de Helmholtz consta de dos bobinas magnéticas circulares idénticas que se colocan simétricamente a lo largo de un eje común, una a cada lado del área experimental y separadas por una distanciah{\displaystyle h}igual al radioR{\displaystyle R}de la bobina. Cada bobina transporta una corriente eléctrica igual en la misma dirección. [ 1 ]

Configuraciónh=R{\displaystyle h=R}, que es lo que define un par de Helmholtz, minimiza la no uniformidad del campo en el centro de las bobinas, en el sentido de establecer∂2B/∂incógnita2=0{\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}=0}[ 2 ] (lo que significa que la primera derivada no nula es∂4B/∂incógnita4{\displaystyle \partial ^{4}B/\partial x^{4}}como se explica a continuación), pero deja una variación de aproximadamente el 7% en la intensidad del campo entre el centro y los planos de las bobinas. Un valor ligeramente mayor deh{\displaystyle h}reduce la diferencia de campo entre el centro y los planos de las bobinas, a costa de empeorar la uniformidad del campo en la región cercana al centro, según lo medido por∂2B/∂incógnita2{\displaystyle \partial ^{2}B/\partial x^{2}}. [ 3 ]

En algunas aplicaciones, se utiliza una bobina de Helmholtz para cancelar el campo magnético terrestre , produciendo una región con una intensidad de campo magnético mucho más cercana a cero. [ 4 ]

Matemáticas

Líneas de campo magnético en un plano que biseca las espiras de corriente. Nótese que el campo es aproximadamente uniforme entre el par de bobinas. (En esta imagen, las bobinas están colocadas una al lado de la otra: el eje es horizontal).
Inducción del campo magnético a lo largo del eje que pasa por el centro de las bobinas; z  =  0 es el punto medio de la distancia entre las bobinas.
Contornos que muestran la magnitud del campo magnético cerca de un par de bobinas, con una bobina en la parte superior y la otra en la inferior. Dentro del "pulpo" central, el campo está dentro del 1% de su valor central B 0 . Los ocho contornos son para magnitudes de campo de 0,5 B 0 , 0,8 B 0 , 0,9 B 0 , 0,95 B 0 , 0,99 B 0 , 1,01 B 0 , 1,05 B 0 , y 1,1 B 0 .        

El cálculo del campo magnético exacto en cualquier punto del espacio es matemáticamente complejo e implica el estudio de las funciones de Bessel . Las cosas son más sencillas a lo largo del eje del par de bobinas, y es conveniente pensar en la expansión en serie de Taylor de la intensidad del campo en función deincógnita{\displaystyle x}, la distancia desde el punto central del par de bobinas a lo largo del eje. Por simetría, los términos de orden impar en la expansión son cero. Al disponer las bobinas de manera que el origenincógnita=0{\displaystyle x=0}es un punto de inflexión para la fuerza del campo debido a cada bobina por separado, se puede garantizar que el ordenincógnita2{\displaystyle x^{2}}El término también es cero, y por lo tanto el término principal no constante es de ordenincógnita4{\displaystyle x^{4}}. El punto de inflexión para una bobina simple se encuentra a lo largo del eje de la bobina a una distanciaR/2{\displaystyle R/2}desde su centro. Por lo tanto, las ubicaciones de las dos bobinas sonincógnita=±R/2{\displaystyle x=\pm R/2}.

El cálculo detallado a continuación proporciona el valor exacto del campo magnético en el punto central. Si el radio es R , el número de espiras en cada bobina es n y la corriente que atraviesa las bobinas es I , entonces el campo magnético B en el punto medio entre las bobinas estará dado por

B=(45)3/2μ0norteIR,{\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}},}

dóndeμ0{\displaystyle \mu _{0}}es la permeabilidad del espacio libre (4π×10−7 T⋅mamá{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}}) .

Derivación

Comencemos con la fórmula para el campo en el eje debido a un solo bucle de alambre que a su vez se deriva de la ley de Biot-Savart : [ 5 ]

B1(incógnita)=μ0IR22(R2+incógnita2)3/2=ξ(incógnita)μ0I2R.{\displaystyle B_{1}(x)={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}=\xi (x){\frac {\mu _{0}I}{2R}}.}

Aquí

μ0{\displaystyle \mu _{0}\;}= la constante de permeabilidad =4π×10−7 T⋅mamá=1.257×10−6 T⋅mamá,{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}
I{\displaystyle I\;}= corriente de la bobina, en amperios ,
R{\displaystyle R\;}= radio de la bobina, en metros,
incógnita{\displaystyle x\;}= distancia de la bobina, en el eje, al punto, en metros,
ξ(incógnita)=[1+(incógnita/R)2]−3/2{\displaystyle \xi (x)=[1+(x/R)^{2}]^{-3/2}\;}es el coeficiente adimensional que depende de la distancia.

Las bobinas de Helmholtz constan de n espiras de alambre, por lo que la corriente equivalente en una bobina de una espira es n veces la corriente I en la bobina de n espiras. Sustituyendo nI por I en la fórmula anterior se obtiene el campo para una bobina de n espiras:

Bnorte(incógnita)=ξ(incógnita)μ0norteI2R.{\displaystyle B_{n}(x)=\xi (x){\frac {\mu _{0}nI}{2R}}.}

Ahora bien, siempre que las bobinas estén separadas a una distanciaR{\displaystyle R}Aparte, ya podemos expresar el campo magnético justo entre las bobinas comoBnorte(R/2)+Bnorte(−R/2){\displaystyle B_{n}(R/2)+B_{n}(-R/2)}, lo que produce el resultado deseado. Sin embargo, para justificar por qué las bobinas deben estar separadas porR{\displaystyle R}, necesitamos hacer más trabajo. En general, podemos colocar las bobinas a una distanciaa{\displaystyle a}aparte, produciendo un campo de magnitudBnorte(a/2)+Bnorte(−a/2){\displaystyle B_{n}(a/2)+B_{n}(-a/2)}en el centro. Sin embargo, esta forma de representar la solución no proporciona información sobre si el campo es realmente casi homogéneo entre las bobinas. Para comprender el comportamiento del campo alrededor del punto central, podemos definir la funciónB(incógnita)=Bnorte(a/2+incógnita)+Bnorte(−a/2+incógnita){\displaystyle B(x)=B_{n}(a/2+x)+B_{n}(-a/2+x)}desplazarse alrededor del punto de interés porincógnita{\displaystyle x}. Si el campo magnético fuera verdaderamente homogéneo, todas las derivadas deB{\displaystyle B}con respecto aincógnita{\displaystyle x}desaparecería para todas las entradasincógnita{\displaystyle x}No haya{\displaystyle a}para lo cual esto es precisamente cierto, sin embargo, para el punto central correspondiente aincógnita=0{\displaystyle x=0}podemos demostrar quea=R/2{\displaystyle a=R/2}es óptimo en el sentido de aniquilar las derivadas de primer, segundo y tercer orden.

Los ceros de las derivadas deB{\displaystyle B}no se ven afectados por factores constantes, por lo que basta con considerar las derivadas deξ(a/2+incógnita)+ξ(−a/2+incógnita){\displaystyle \xi (a/2+x)+\xi (-a/2+x)}Para ello, escribimos la serie de Taylor, dándonos

2(1+a2R2)3/2+12(30a2(1+a2R2)7/2R4−6(1+a2R2)5/2R2)incógnita2+O(incógnita4).{\displaystyle {\frac {2}{\left(1+{\frac {a^{2}}{R^{2}}}\right)^{3/2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {30a^{2}}{\left(1+{\frac {a^{2}}{R^{2}}}\right)^{7/2}R^{4}}}-{\frac {6}{\left(1+{\frac {a^{2}}{R^{2}}}\right)^{5/2}R^{2}}}\right)x^{2}+{\mathcal {O}}(x^{4}).}

Dado que los coeficientes de la serie de Taylor corresponden a todas las derivadas de la función, observamos que la primera y la tercera derivadas deB{\displaystyle B}son siempre cero en el centro dondeincógnita=0{\displaystyle x=0}(debido a la simetría de la configuración, cierto independientemente del valor específico dea{\displaystyle a}) y para algunos valores especiales dea{\displaystyle a}El término de segundo orden también puede anularse, correspondiendo a la derivada del campo magnético.B{\displaystyle B}mantenerse aproximadamente a cero alrededorincógnita=0{\displaystyle x=0}, lo que da como resultado un campo aproximadamente homogéneo. El coeficiente de segundo orden se simplifica a

24a2−6R2(1+a2R2)7/2R4,{\displaystyle {\frac {24a^{2}-6R^{2}}{(1+{\frac {a^{2}}{R^{2}}})^{7/2}R^{4}}},}

dando asía=R/2{\displaystyle a=R/2}como parámetro deseadoa{\displaystyle a}Por lo tanto, las bobinas deben estar a una distanciaR{\displaystyle R}separadas, lo que da lugar a un campo magnético aproximadamente homogéneo dentro de la bobina de Helmholtz.

Campo magnético variable en el tiempo

La mayoría de las bobinas de Helmholtz utilizan corriente continua (CC) para generar un campo magnético estático. Sin embargo, muchas aplicaciones y experimentos requieren un campo magnético variable en el tiempo. Estas aplicaciones incluyen pruebas de susceptibilidad magnética, experimentos científicos y estudios biomédicos (la interacción entre el campo magnético y el tejido vivo). Los campos magnéticos requeridos suelen ser pulsados ​​o de onda sinusoidal continua. El rango de frecuencia del campo magnético puede abarcar desde frecuencias cercanas a la CC (0  Hz) hasta varios kilohercios o incluso megahercios ( MHz ). Se necesita un controlador de bobina de Helmholtz de corriente alterna (CA) para generar el campo magnético variable en el tiempo. El controlador del amplificador de forma de onda debe ser capaz de proporcionar una alta corriente alterna para producir el campo magnético.

Voltaje y corriente del controlador

I=(54)3/2(BRμ0norte){\displaystyle I=\left({\frac {5}{4}}\right)^{3/2}\left({\frac {BR}{\mu _{0}n}}\right)}

Utilice la ecuación anterior en la sección de matemáticas para calcular la corriente de la bobina para un campo magnético deseado , B.

dóndeμ0{\displaystyle \mu _{0}}es la permeabilidad del espacio libre o4π×10−7 T⋅mamá=1.257×10−6 T⋅mamá,{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}}=1.257\times 10^{-6}{\text{ T}}\cdot {\text{m/A}},}

I{\displaystyle I\;}= corriente de la bobina, en amperios,

R{\displaystyle R\;}= radio de la bobina, en metros,

n = número de vueltas en cada bobina.

Utilizando un generador de funciones y un controlador de amplificador de forma de onda de alta corriente para generar un campo magnético de Helmholtz de alta frecuencia.

Luego, calcule el voltaje requerido del amplificador controlador de la bobina de Helmholtz: [ 6 ]

V=I[ω(L1+L2)]2+(R1+R2)2{\displaystyle V=I{\sqrt {{\bigl [}\omega {\bigl (}L_{1}+L_{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}+{\bigl (}R_{1}+R_{2}{\bigr )}^{2}}}}

dónde

  • I es la corriente máxima,
  • ω es la frecuencia angular o ω = 2 πf ,
  • L 1 y L 2 son las inductancias de las dos bobinas de Helmholtz, y
  • R 1 y R 2 son las resistencias de las dos bobinas.

Serie resonante de alta frecuencia

Generar un campo magnético estático es relativamente fácil; la intensidad del campo es proporcional a la corriente. Generar un campo magnético de alta frecuencia es más difícil. Las bobinas son inductores y su impedancia aumenta proporcionalmente con la frecuencia. Para proporcionar la misma intensidad de campo al doble de frecuencia se requiere el doble de voltaje a través de la bobina. En lugar de alimentar directamente la bobina con un alto voltaje, se puede utilizar un circuito resonante en serie para proporcionar dicho voltaje. [ 7 ] Se agrega un condensador en serie con las bobinas. La capacitancia se elige para que la bobina resuene a la frecuencia deseada. Solo permanece la resistencia parásita de las bobinas. Este método solo funciona a frecuencias cercanas a la frecuencia de resonancia; para generar el campo a otras frecuencias se requieren condensadores diferentes. La frecuencia de resonancia de la bobina de Helmholtz,F0{\displaystyle f_{0}}y el valor del condensador, C, se dan a continuación. [ 6 ]

F0=12π(L1+L2)do{\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\left(L_{1}+L_{2}\right)C}}}}}
do=1(2πF0)2(L1+L2){\displaystyle C={\frac {1}{\left(2\pi f_{0}\right)^{2}\left(L_{1}+L_{2}\right)}}}

Bobina anti-Helmholtz

Cuando los dos electroimanes de una bobina de Helmholtz transportan una corriente eléctrica igual en direcciones opuestas, se la conoce como bobina anti-Helmholtz , que crea una región con un gradiente de campo magnético casi uniforme y se utiliza para crear trampas magnéticas para experimentos de física atómica .

En un par anti-Helmholtz, la intensidad del campo B en cualquierincógnita{\displaystyle x}sería:

B(incógnita)=μ0norteI2R[ξ(incógnita−R/2)−ξ(incógnita+R/2)]=μ0norteI2R([1+(incógnita/R−1/2)2]−3/2−[1+(incógnita/R+1/2)2]−3/2){\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left[\xi (xR/2)-\xi (x+R/2)\right]\\&={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\left([1+(x/R-1/2)^{2}]^{-3/2}-[1+(x/R+1/2)^{2}]^{-3/2}\right)\\\end{aligned}}}

Los puntos cercanos al centro (a medio camino entre las dos bobinas) tienenincógnita≪R{\displaystyle x\ll R}y la serie Taylor deξ(incógnita−R/2)−ξ(incógnita+R/2){\displaystyle \xi (xR/2)-\xi (x+R/2)}es:

(incógnita/R)(965)/125−(incógnita/R)3(5125)/625+O((incógnita/R)5)≈1,72(incógnita/R)−1,83(incógnita/R)3+O((incógnita/R)5){\displaystyle (x/R)(96{\sqrt {5}})/125-(x/R)^{3}(512{\sqrt {5}})/625+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})\approx 1.72(x/R)-1.83(x/R)^{3}+{\mathcal {O}}((x/R)^{5})}.

bobinas Maxwell

Bobinas de Helmholtz (aros) dispuestas en tres ejes perpendiculares se utilizaron para anular el campo magnético terrestre dentro del tanque de vacío en un experimento con haz de electrones realizado en 1957.

Para mejorar la uniformidad del campo en el espacio dentro de las bobinas, se pueden agregar bobinas adicionales alrededor del exterior. James Clerk Maxwell demostró en 1873 que una tercera bobina de mayor diámetro ubicada a medio camino entre las dos bobinas de Helmholtz con la distancia de bobina aumentada desde el radio de la bobinaR{\displaystyle R}a3R{\displaystyle {\sqrt {3}}R}Puede reducir la varianza del campo en el eje a cero hasta la sexta derivada de la posición. A esto a veces se le llama bobina de Maxwell .

Véase también

  • Solenoide
  • Conjunto de Halbach
  • Una botella magnética tiene la misma estructura que las bobinas de Helmholtz, pero con los imanes más separados, de modo que el campo se expande en el centro, atrapando partículas cargadas con las líneas de campo divergentes. Si se invierte la polaridad de una bobina, se produce una trampa de cúspide , que también atrapa partículas cargadas. [ 8 ]
  • Las bobinas de Helmholtz fueron diseñadas y construidas para el laboratorio de pruebas de materiales compuestos electromagnéticos del Laboratorio de Investigación del Ejército en 1993, para probar materiales compuestos en campos magnéticos de baja frecuencia. [ 9 ]

Referencias

  1. ↑ Ramsden, Edward (2006). Sensores de efecto Hall  : teoría y aplicaciones (2.ª  ed.). Ámsterdam: Elsevier/Newnes. pág.  195. ISBN 978-0-75067934-3.
  2. ↑ Bobina de Helmholtz en unidades CGS. Archivado el 24 de marzo de 2012 en Wayback Machine .
  3. ↑ "Electromagnetismo" . Archivado del original el 3 de junio de 2011. Consultado el 20 de noviembre de 2007 .
  4. ↑ "Magnetómetro de campo terrestre: bobina de Helmholtz" por Richard Wotiz, 2004. Enlace obsoleto archivado el 28 de junio de 2007 en archive.today .
  5. ↑ "Campo magnético de una espira de corriente" .
  6. 1 2 Yang, KC. "Las bobinas de Helmholtz de alta frecuencia generan campos magnéticos" . EDN . Consultado el 27 de enero de 2016 .
  7. ↑ "Bobina electromagnética resonante de alta frecuencia" . www.accelinstruments.com . Consultado el 25 de febrero de 2016 .
  8. ↑ «ログイン - Grupo ASACUSA MUSASHI» .
  9. ↑ J, DeTroye, David; J, Chase, Ronald (noviembre de 1994). "El cálculo y la medición de los campos de las bobinas de Helmholtz" . Archivado del original el 2 de junio de 2018.{{cite journal}}: La cita de la revista requiere |journal=( ayuda ) CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace )
  • Campo en el eje de una bobina de Helmholtz ideal
  • Campo axial de un par de bobinas de Helmholtz reales
  • Campos de bobinas de Helmholtz por Franz Kraft, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
  • Kevin Kuns (2007) Cálculo del campo magnético dentro de la cámara de plasma , utiliza integrales elípticas y sus derivadas para calcular campos fuera del eje, de PBworks .
  • DeTroye, David J.; Chase, Ronald J. (noviembre de 1994), El cálculo y la medición de campos de bobinas de Helmholtz (PDF) , Laboratorio de Investigación del Ejército, ARL-TN-35, archivado (PDF) del original el 18 de abril de 2013.
  • Campos magnéticos de bobinas. Archivado el 30 de abril de 2015 en Wayback Machine.
  • http://physicsx.pr.erau.edu/HelmholtzBoils/