Hemicontinuidad

En matemáticas , la hemicontinuidad superior y la hemicontinuidad inferior son extensiones de las nociones de semicontinuidad superior e inferior de funciones unívocas a funciones multivaluadas . Una función multivaluada que es hemicontinua tanto superior como inferiormente se denomina continua, por analogía con la propiedad del mismo nombre para funciones unívocas.

Para explicar ambas nociones, consideremos una secuencia a de puntos en un dominio y una secuencia b de puntos en el rango. Decimos que b corresponde a a si cada punto en b está contenido en la imagen del punto correspondiente en a .

La hemicontinuidad superior requiere que, para cualquier secuencia convergente a en un dominio, y para cualquier secuencia convergente b que corresponda a a , la imagen del límite de a contiene el límite de b .
La hemicontinuidad inferior requiere que, para cualquier secuencia convergente a en un dominio, y para cualquier punto x en la imagen del límite de a , exista una secuencia b que corresponda a una subsecuencia de a , que converja a x .

Ejemplos

{\displaystyle x} — Esta función multivaluada es hemicontinua superior en todas partes, pero no hemicontinua inferior en $x$ : para una secuencia de puntos $\left(x_{m}\right)$ que converge a $x,$ tenemos un $y$ ( $y\in f(x)$ ) de tal manera que ninguna secuencia de $\left(y_{m}\right)$ converge a $y$ donde cada $y_{m}$ está en $f\left(x_{m}\right).$

La imagen de la derecha muestra una función que no es hemicontinua inferiormente en x . Para ver esto, sea a una sucesión que converge a x desde la izquierda. La imagen de x es una línea vertical que contiene algún punto ( x , y ). Pero cualquier sucesión b que corresponda a a está contenida en la línea horizontal inferior, por lo que no puede converger a y . En cambio, la función es hemicontinua superiormente en todas partes. Por ejemplo, considerando cualquier sucesión a que converge a x desde la izquierda o desde la derecha, y cualquier sucesión b correspondiente , el límite de b está contenido en la línea vertical que es la imagen del límite de a .

La imagen de la izquierda muestra una función que no es hemicontinua superiormente en x . Para ver esto, sea a una sucesión que converge a x por la derecha. La imagen de a contiene líneas verticales, por lo que existe una sucesión correspondiente b en la que todos los elementos están acotados lejos de f ( x ). La imagen del límite de a contiene un único punto f ( x ), por lo que no contiene el límite de b . En cambio, esa función es hemicontinua inferiormente en todas partes. Por ejemplo, para cualquier sucesión a que converge a x , ya sea por la izquierda o por la derecha, f ( x ) contiene un único punto, y existe una sucesión correspondiente b que converge a f ( x ).

Definiciones

hemicontinuidad superior

Una función con valores de conjunto $\Gamma :A\rightrightarrows B$ Se dice que es hemicontinua superior en un punto $a\in A$ si, por cada abierto $V\subset B$ con $\Gamma (a)\subset V,$ existe un vecindario $U$ de $a$ de tal manera que para todos $x\in U,$ $\Gamma (x)$ es un subconjunto de $V.$

hemicontinuidad inferior

Una función con valores de conjunto $\Gamma :A\rightrightarrows B$ Se dice que es hemicontinua inferior en el punto $a\in A$ si para cada conjunto abierto $V$ intersección $\Gamma (a),$ existe un vecindario $U$ de $a$ de tal manera que $\Gamma (x)$ interseca $V$ a pesar de $x\in U.$ (Aquí $V$ interseca $S$ significa intersección no vacía $V\cap S\neq \varnothing$ ).

Continuidad

Si una función multivaluada es hemicontinua superior e inferiormente, se dice que es continua.

Propiedades

hemicontinuidad superior

Caracterización secuencial

Teorema — Para una función multivaluada $\Gamma :A\rightrightarrows B$ con valores cerrados, si $\Gamma$ es hemicontinua superior en $a\in A,$ entonces para cada secuencia $a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ en $A$ y cada secuencia $\left(b_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ de tal manera que $b_{m}\in \Gamma \left(a_{m}\right),$

si

\lim _{m\to \infty }a_{m}=a

y

\lim _{m\to \infty }b_{m}=b

entonces

b\in \Gamma (a).

Si $B$ Si es compacto, entonces lo contrario también es cierto.

Como ejemplo, observe la imagen de la derecha y considere la secuencia a en el dominio que converge a x (ya sea por la izquierda o por la derecha). Entonces, cualquier secuencia b que satisfaga los requisitos converge a algún punto en f ( x ).

Teorema del grafo cerrado

La gráfica de una función multivaluada $\Gamma :A\rightrightarrows B$ es el conjunto definido por $Gr(\Gamma )=\{(a,b)\in A\times B:b\in \Gamma (a)\}.$ El dominio de $\Gamma$ es el conjunto de todos $a\in A$ de tal manera que $\Gamma (a)$ no está vacío.

Teorema — Si $\Gamma :A\rightrightarrows B$ es una función multivaluada hemicontinua superior con dominio cerrado (es decir, el dominio de $\Gamma$ está cerrado) y valores cerrados (es decir $\Gamma (a)$ está cerrado para todos $a\in A$ ), entonces $\operatorname {Gr} (\Gamma )$ Está cerrado.

Si $B$ Si es compacto, entonces lo contrario también es cierto. ^{[ 1 ]}

hemicontinuidad inferior

Caracterización secuencial

Teorema — $\Gamma :A\rightrightarrows B$ es hemicontinua inferior en $a\in A$ si y solo si para cada secuencia $a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }$ en $A$ de tal manera que $a_{\bullet }\to a$ en $A$ y todo $b\in \Gamma (a),$ existe una subsecuencia $\left(a_{m_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ de $a_{\bullet }$ y también una secuencia $b_{\bullet }=\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ de tal manera que $b_{\bullet }\to b$ y $b_{k}\in \Gamma \left(a_{m_{k}}\right)$ por cada $k.$

Teorema del grafo abierto

Una función con valores de conjunto $\Gamma :A\to B$ Se dice que tiene secciones inferiores abiertas si el conjunto $\Gamma ^{-1}(b)=\{a\in A:b\in \Gamma (a)\}$ está abierto en $A$ por cada $b\in B.$ Si $\Gamma$ Los valores son todos conjuntos abiertos en $B,$ entonces $\Gamma$ Se dice que tiene secciones superiores abiertas .

Si $\Gamma$ tiene un gráfico abierto $\operatorname {Gr} (\Gamma ),$ entonces $\Gamma$ tiene secciones superior e inferior abiertas y si $\Gamma$ tiene secciones inferiores abiertas entonces es hemicontinua inferior. ^{[ 2 ]}

Teorema del grafo abierto — Si $\Gamma :A\to P\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ es una función multivaluada con valores convexos y secciones superiores abiertas, entonces $\Gamma$ tiene un gráfico abierto en $A\times \mathbb {R} ^{n}$ si y solo si $\Gamma$ es hemicontinua inferior. ^{[ 2 ]}

Operaciones que preservan la hemicontinuidad

Las operaciones conjuntistas, algebraicas y topológicas sobre funciones con valores en conjuntos (como la unión, la composición, la suma, la envoltura convexa y la clausura) generalmente preservan el tipo de continuidad. Sin embargo, esto debe considerarse con la debida precaución, ya que, por ejemplo, existe un par de funciones con valores en conjuntos hemicontinuas inferiores cuya intersección no lo es. Esto puede corregirse reforzando las propiedades de continuidad: si una de estas multifunciones hemicontinuas inferiores tiene una gráfica abierta, entonces su intersección también es hemicontinua inferior.

Selección de funciones

Para el análisis de funciones multivaluadas (en lo que respecta a sus aplicaciones), resulta crucial investigar las selecciones unívocas y las aproximaciones a dichas funciones. Típicamente, las funciones multivaluadas hemicontinuas inferiores admiten selecciones unívocas ( teorema de selección de Michael , teorema de selección direccionalmente continua de Bressan-Colombo, selección de mapas descomponibles de Fryszkowski). Del mismo modo, los mapas hemicontinuos superiores admiten aproximaciones (por ejemplo, el teorema de Ancel-Granas-Górniewicz-Kryszewski).

Otros conceptos de continuidad

La hemicontinuidad superior e inferior podría considerarse como una continuidad usual:

Teorema : Una función multivaluada $\Gamma :A\rightrightarrows B$ con valores cerrados es inferior [resp. superior] hemicontinuo si y solo si el mapeo $\Gamma :A\to P(B)$ es continuo donde el hiperespacio P(B) ha sido dotado con la topología de Vietoris inferior [resp. superior] .

(Para la noción de hiperespacio, compárese también con el conjunto potencia y el espacio de funciones ).

Utilizando la uniformidad de Hausdorff inferior y superior , también podemos definir los llamados mapas semicontinuos superior e inferior en el sentido de Hausdorff (también conocidos como mapas semicontinuos métricamente inferiores/superiores ).

Véase también

Inclusión diferencial
Distancia de Hausdorff : distancia entre dos subconjuntos de un espacio métrico.
Semicontinuidad : propiedad de las funciones que es más débil que la continuidad. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento.
Teorema de selección : un teorema sobre la construcción de una función unívoca a partir de una función multivaluada.

Notas

↑ Proposición 1.4.8 de Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis de valores establecidos . Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
1 2 Zhou, JX (agosto de 1995). "Sobre la existencia de equilibrio para economías abstractas" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 193 (3): 839– 858. doi : 10.1006/jmaa.1995.1271 .

Referencias

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Aubin, Jean-Pierre ; Cellina, Arrigo (1984). Inclusiones diferenciales: aplicaciones con valores de conjunto y teoría de la viabilidad . Grundl. der Math. Wiss. Vol. 264. Berlín: Springer. ISBN 0-387-13105-1.
Aubin, Jean-Pierre ; Frankowska, Hélène (1990). Análisis de valores establecidos . Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.
Deimling, Klaus (1992). Ecuaciones diferenciales multivaluadas . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013212-5.
Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Green, Jerry R. (1995). Análisis microeconómico . Nueva York: Oxford University Press. págs. 949–951 . ISBN 0-19-507340-1.
Ok, Efe A. (2007). Análisis real con aplicaciones económicas . Princeton University Press. pp. 216–226 . ISBN 978-0-691-11768-3.

[1] Proposición 1.4.8 de Aubin, Jean-Pierre; Frankowska, Hélène (1990). Análisis de valores establecidos . Basilea: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3478-9.

[Zhou:95-2] 1 2 Zhou, JX (agosto de 1995). "Sobre la existencia de equilibrio para economías abstractas" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 193 (3): 839– 858. doi : 10.1006/jmaa.1995.1271 .

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