Espacio hemicompacto

En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico de Hausdorff es hemicompacto si tiene una sucesión de subconjuntos compactos tal que cada subconjunto compacto del espacio se encuentra dentro de algún conjunto compacto de la sucesión. ^{[ 1 ]} Esto obliga a que la unión de la sucesión sea todo el espacio, porque cada punto es compacto y, por lo tanto, debe estar dentro de uno de los conjuntos compactos.

• Todo espacio compacto es semicompacto.
• La línea real es semicompacta.
• Cada espacio Lindelöf compacto a nivel local es semicompacto.

Todo espacio hemicompacto es σ-compacto ^{[ 2 ]} y si además es primero numerable , entonces es localmente compacto . Si un espacio hemicompacto es débilmente localmente compacto , entonces es agotable por conjuntos compactos .

Si${\displaystyle X}$es un espacio hemicompacto, entonces el espacio${\displaystyle C(X,M)}$de todas las funciones continuas${\displaystyle f:X\to M}$a un espacio métrico${\displaystyle (M,\delta )}$con la topología compacta-abierta es metrizable . ^{[ 3 ]} Para ver esto, tomemos una secuencia${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots }$de subconjuntos compactos de${\displaystyle X}$de tal manera que cada subconjunto compacto de${\displaystyle X}$se encuentra dentro de algún conjunto compacto en esta secuencia (la existencia de tal secuencia se deduce de la hemicompacidad de${\displaystyle X}$). Definir pseudométricas

${\displaystyle d_{n}(f,g)=\sup _{x\in K_{n}}\delta {\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\quad f,g\in C(X,M),n\in \mathbb {N} .}$

Entonces

${\displaystyle d(f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}}$

define una métrica en${\displaystyle C(X,M)}$lo que induce la topología compacta-abierta.

• Espacio compacto
• Agotable mediante conjuntos compactos
• Espacio localmente compacto
• Espacio Lindelöf

• Willard, Stephen (2004). Topología general . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.

• Espacio hemicompacto en nLab
• hemicompacto en la base π