Geometría hiperbólica

La geometría hiperbólica está más relacionada con la geometría euclidiana de lo que parece: la única diferencia axiomática es el postulado de las paralelas . Al eliminar este postulado de la geometría euclidiana, la geometría resultante es la geometría absoluta . Existen dos tipos de geometría absoluta: la euclidiana y la hiperbólica. Todos los teoremas de la geometría absoluta, incluidas las primeras 28 proposiciones del primer libro de los Elementos de Euclides , son válidos tanto en la geometría euclidiana como en la hiperbólica. Las proposiciones 27 y 28 del primer libro de los Elementos de Euclides demuestran la existencia de líneas paralelas que no se intersecan.

Esta diferencia también tiene muchas consecuencias: conceptos equivalentes en geometría euclidiana no lo son en geometría hiperbólica; es necesario introducir nuevos conceptos. Además, debido al ángulo de paralelismo , la geometría hiperbólica posee una escala absoluta , una relación entre las medidas de distancia y ángulo.

En geometría hiperbólica, las líneas individuales poseen exactamente las mismas propiedades que las líneas rectas individuales en geometría euclidiana. Por ejemplo, dos puntos definen una línea de forma única, y los segmentos de línea pueden extenderse infinitamente.

Dos líneas que se intersecan tienen las mismas propiedades que dos líneas que se intersecan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dos líneas distintas pueden intersecarse en no más de un punto, las líneas que se intersecan forman ángulos opuestos iguales y los ángulos adyacentes de líneas que se intersecan son suplementarios .

Cuando se introduce una tercera línea, las propiedades de las líneas que se intersecan pueden diferir de las de las líneas que se intersecan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dadas dos líneas que se intersecan, existen infinitas líneas que no intersecan a ninguna de ellas.

Todas estas propiedades son independientes del modelo utilizado, aunque las líneas puedan parecer radicalmente diferentes.

En geometría hiperbólica, la circunferencia de un círculo de radio r es mayor que${\displaystyle 2\pi r}$.

Dejar${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$, dónde${\displaystyle K}$es la curvatura gaussiana del plano. En geometría hiperbólica,${\displaystyle K}$es negativo, por lo que la raíz cuadrada es de un número positivo.

Entonces, la circunferencia de un círculo de radio r es igual a:

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$

Y el área del disco encerrado es:

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.}$

Por lo tanto, en geometría hiperbólica la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio es siempre estrictamente mayor que${\displaystyle 2\pi }$, aunque se puede hacer arbitrariamente cercano seleccionando un círculo lo suficientemente pequeño.

Si la curvatura gaussiana del plano es −1, entonces la curvatura geodésica de un círculo de radio r es:${\displaystyle {\frac {1}{\tanh(r)}}}$^{[ 1 ]}

En geometría hiperbólica, no existe ninguna línea cuyos puntos equidistan todos de otra línea. En cambio, los puntos que se encuentran a la misma distancia de una línea dada se sitúan sobre una curva denominada hiperciclo .

Otra curva especial es el horociclo , cuyos radios normales ( líneas perpendiculares ) son todos paralelos límite entre sí (todos convergen asintóticamente en una dirección al mismo punto ideal , el centro del horociclo).

Por cada par de puntos pasan dos horociclos. Los centros de los horociclos son los puntos ideales de la mediatriz del segmento de recta que los une.

Dados tres puntos distintos cualesquiera, todos ellos se encuentran sobre una línea, un hiperciclo, un horociclo o un círculo.

La longitud de un segmento de línea es la distancia más corta entre dos puntos.

La longitud de arco de un hiperciclo que conecta dos puntos es mayor que la del segmento de línea y menor que la del horociclo de arco que conecta los mismos dos puntos.

Las longitudes de los arcos de ambos horociclos que conectan dos puntos son iguales, y son más largas que la longitud del arco de cualquier hiperciclo que conecte los puntos y más cortas que el arco de cualquier círculo que conecte los dos puntos.

Si la curvatura gaussiana del plano es −1, entonces la curvatura geodésica de un horociclo es 1 y la de un hiperciclo está entre 0 y 1. ^{[ 1 ]}

A diferencia de los triángulos euclidianos, donde los ángulos siempre suman π radianes (180°, un ángulo llano ), en el espacio hiperbólico la suma de los ángulos de un triángulo siempre es estrictamente menor que π radianes (180°). La diferencia se llama defecto . Generalmente, el defecto de un polígono hiperbólico convexo con${\displaystyle n}$lados es la suma de sus ángulos restada de${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}$.

El área de un triángulo hiperbólico viene dada por su defecto en radianes multiplicado por R² , lo cual también es cierto para todos los polígonos hiperbólicos convexos. ^{[ 2 ] Por lo tanto, todos los} triángulos hiperbólicos tienen un área menor o igual a R²π . El área de un triángulo hiperbólico ideal en el que los tres ángulos miden 0° es igual a este máximo.

Como en la geometría euclidiana , cada triángulo hiperbólico tiene una circunferencia inscrita . En el espacio hiperbólico, si sus tres vértices se encuentran sobre un horociclo o hiperciclo , entonces el triángulo no tiene circunferencia circunscrita .

Al igual que en la geometría esférica y elíptica , en la geometría hiperbólica, si dos triángulos son semejantes, deben ser congruentes.

En geometría hiperbólica, los polígonos especiales son el apeirogon y el pseudógono regulares, polígonos uniformes con un número infinito de lados.

En geometría euclidiana , la única forma de construir un polígono de este tipo es hacer que las longitudes de los lados tiendan a cero, de modo que el apeirogon sea indistinguible de un círculo, o hacer que los ángulos interiores tiendan a 180°, de modo que el apeirogon se aproxime a una línea recta.

Sin embargo, en geometría hiperbólica, un apeirogono o pseudógono regular tiene lados de cualquier longitud (es decir, sigue siendo un polígono con lados perceptibles).

Las bisectrices de los lados y los ángulos , según la longitud de los lados y el ángulo entre ellos, serán paralelas límite o divergentes. Si las bisectrices son paralelas límite, se trata de un apeirogono y puede inscribirse y circunscribirse mediante horociclos concéntricos .

Si las bisectrices son paralelas divergentes, entonces se trata de un pseudógono y puede ser inscrito y circunscrito por hiperciclos (ya que todos sus vértices están a la misma distancia de una línea, el eje, y los puntos medios de sus lados también son equidistantes de ese mismo eje).

Al igual que el plano euclidiano, también es posible teselar el plano hiperbólico con polígonos regulares como caras .

Hay un número infinito de teselaciones uniformes basadas en los triángulos de Schwarz ( p, q, r ), donde 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1, siendo p , q y r órdenes de simetría de reflexión en tres puntos del triángulo del dominio fundamental , cuyo grupo de simetría es un grupo triangular hiperbólico . También hay infinitos teselaciones uniformes que no pueden generarse a partir de triángulos de Schwarz; algunas, por ejemplo, requieren cuadriláteros como dominios fundamentales. ^{[ 3 ]}

En comparación con la geometría euclidiana, la geometría hiperbólica presenta muchas dificultades para un sistema de coordenadas: la suma de los ángulos de un cuadrilátero siempre es menor que 360°; no hay líneas equidistantes, por lo que un rectángulo propiamente dicho tendría que estar encerrado por dos líneas y dos hiperciclos; transportar un segmento de línea en paralelo alrededor de un cuadrilátero provoca que este rote al regresar al origen; etc.

Sin embargo, existen diferentes sistemas de coordenadas para la geometría del plano hiperbólico. Todos se basan en elegir un punto (el origen) sobre una línea dirigida determinada (el eje x ), y a partir de ahí existen muchas opciones.

Las coordenadas de Lobachevsky, x e y, se obtienen trazando una perpendicular sobre el eje x . x será la posición del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular desde el pie del punto dado (positiva en un extremo y negativa en el otro).

Otro sistema de coordenadas mide la distancia desde el punto hasta el horociclo a través del origen centrado en${\displaystyle (0,+\infty )}$y la longitud a lo largo de este horociclo. ^{[ 5 ]}

Otros sistemas de coordenadas utilizan el modelo de Klein o el modelo del disco de Poincaré que se describe a continuación, y toman las coordenadas euclidianas como hiperbólicas.

Se construye un sistema de coordenadas cartesianas ( x, y ) en el plano hiperbólico orientado de la siguiente manera. Elija una línea en el plano hiperbólico junto con una orientación y un origen o en dicha línea. Entonces:

• La coordenada x de un punto es la distancia con signo de su proyección sobre la línea (el pie del segmento perpendicular a la línea desde ese punto) hasta el origen;
• La coordenada y es la distancia con signo desde el punto hasta la línea, cuyo signo depende de si el punto se encuentra en el lado positivo o negativo de la línea orientada.

La distancia entre dos puntos representados por ( x_i, y_i ), i=1,2 en este sistema de coordenadas es$${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$$

Esta fórmula se puede derivar de las fórmulas sobre triángulos hiperbólicos .

El campo tensorial métrico correspondiente es:${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$.

En este sistema de coordenadas, las líneas rectas adoptan una de estas formas (( x , y ) es un punto en la línea; x ₀ , y ₀ , A , y α son parámetros):

ultraparalelo al eje x

${\displaystyle \tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})}$

asintóticamente paralelas en el lado negativo

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(x)}$

asintóticamente paralelas en el lado positivo

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(-x)}$

intersectando perpendicularmente

${\displaystyle x=x_{0}}$

intersecándose en un ángulo α

${\displaystyle \tanh(y)=\tan(\alpha )\sinh(x-x_{0})}$

En general, estas ecuaciones solo se cumplen en un dominio acotado (de valores de x ). En el borde de ese dominio, el valor de y tiende a infinito.

En el siglo XIX, la geometría hiperbólica fue explorada extensamente por Nikolai Lobachevsky , János Bolyai , Carl Friedrich Gauss y Franz Taurinus . A diferencia de sus predecesores, que solo querían eliminar el postulado de las paralelas de los axiomas de la geometría euclidiana, estos autores se dieron cuenta de que habían descubierto una nueva geometría. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

En una carta de 1824 a Franz Taurinus, Gauss escribió que la había construido, pero no publicó su trabajo. Gauss la denominó « geometría no euclidiana » ^{[ 13 ],} lo que llevó a varios autores modernos a considerar sinónimos de «geometría no euclidiana» y «geometría hiperbólica». Taurinus publicó resultados sobre trigonometría hiperbólica en 1826, argumentando que la geometría hiperbólica es autoconsistente, pero aún creía en el papel especial de la geometría euclidiana. El sistema completo de geometría hiperbólica fue publicado por Lobachevsky en 1829/1830, mientras que Bolyai lo descubrió de forma independiente y lo publicó en 1832.

En 1868, Eugenio Beltrami proporcionó modelos de geometría hiperbólica y los utilizó para demostrar que la geometría hiperbólica era consistente si y solo si la geometría euclidiana lo era.

El término «geometría hiperbólica» fue introducido por Felix Klein en 1871. ^{[ 14 ]} Klein siguió una iniciativa de Arthur Cayley para utilizar las transformaciones de la geometría proyectiva para producir isometrías . La idea utilizaba una sección cónica o cuádrica para definir una región y la razón antagónica para definir una métrica . Las transformaciones proyectivas que mantienen estable la sección cónica o cuádrica son las isometrías. «Klein demostró que si el absoluto de Cayley es una curva real, entonces la parte del plano proyectivo en su interior es isométrica al plano hiperbólico…» ^{[ 15 ]}

El descubrimiento de la geometría hiperbólica tuvo importantes consecuencias filosóficas . Antes de su descubrimiento, muchos filósofos (como Hobbes y Spinoza ) consideraban el rigor filosófico en términos del "método geométrico", refiriéndose al método de razonamiento utilizado en los Elementos de Euclides .

Kant, en su Crítica de la razón pura, concluyó que el espacio (en la geometría euclidiana ) y el tiempo no son descubiertos por los humanos como características objetivas del mundo, sino que forman parte de un marco sistemático inevitable para organizar nuestras experiencias. ^{[ 16 ]}

Se dice que Gauss no publicó nada sobre geometría hiperbólica por temor al «escándalo de los beocios » (estereotipados como ignorantes por los antiguos atenienses ^{[ 17 ]} ), lo que arruinaría su estatus de princeps mathematicorum (en latín, «el Príncipe de los Matemáticos»). ^{[ 18 ]} El «escándalo de los beocios» pasó y dio un impulso a grandes mejoras en el rigor matemático , la filosofía analítica y la lógica . Finalmente se demostró la consistencia de la geometría hiperbólica y, por lo tanto, es otra geometría válida.

Dado que la geometría euclidiana, hiperbólica y elíptica son todas consistentes, surge la pregunta: ¿cuál es la geometría real del espacio y, si es hiperbólica o elíptica, cuál es su curvatura?

Lobachevsky ya había intentado medir la curvatura del universo midiendo la paralaje de Sirio y tratando a Sirio como el punto ideal de un ángulo de paralelismo . Se dio cuenta de que sus mediciones no eran lo suficientemente precisas como para dar una respuesta definitiva, pero llegó a la conclusión de que si la geometría del universo es hiperbólica, entonces la longitud absoluta es al menos un millón de veces el diámetro de la órbita de la Tierra (2 000 000 UA  , 10 pársec ). ^{[ 19 ]} Algunos argumentan que sus mediciones fueron metodológicamente defectuosas. ^{[ 20 ]}

Henri Poincaré , con su experimento mental del mundo esférico , llegó a la conclusión de que la experiencia cotidiana no necesariamente excluye otras geometrías.

La conjetura de geometrización ofrece una lista completa de ocho posibilidades para la geometría fundamental de nuestro espacio. El problema para determinar cuál se aplica es que, para llegar a una respuesta definitiva, necesitamos poder observar formas extremadamente grandes, mucho mayores que cualquier cosa en la Tierra o quizás incluso en nuestra galaxia. ^{[ 21 ]}

La relatividad especial sitúa el espacio y el tiempo en igualdad de condiciones, de modo que se considera la geometría de un espaciotiempo unificado en lugar de considerar el espacio y el tiempo por separado. ^{[ 22 ] [ 23 ]} La geometría de Minkowski reemplaza la geometría galileana (que es el espacio euclidiano tridimensional con tiempo de la relatividad galileana ). ^{[ 24 ]}

En relatividad, en lugar de la geometría euclidiana, elíptica e hiperbólica, las geometrías apropiadas a considerar son el espacio de Minkowski , el espacio de De Sitter y el espacio anti-De Sitter , ^{[ 25 ] [ 26 ]} que corresponden a curvatura cero, positiva y negativa respectivamente.

La geometría hiperbólica se introduce en la relatividad especial a través de la rapidez , que representa la velocidad , y se expresa mediante un ángulo hiperbólico . El estudio de esta geometría de la velocidad se ha denominado geometría cinemática . El espacio de velocidades relativistas posee una geometría hiperbólica tridimensional, donde la función de distancia se determina a partir de las velocidades relativas de puntos "cercanos" (velocidades). ^{[ 27 ]}

El modelo de Beltrami-Klein , también conocido como modelo de disco proyectivo, modelo de disco de Klein o modelo de Klein , recibe su nombre de Eugenio Beltrami y Félix Klein .

Para las dos dimensiones, este modelo utiliza el interior del círculo unitario para el plano hiperbólico completo , y las cuerdas de este círculo son las líneas hiperbólicas.

Para dimensiones superiores, este modelo utiliza el interior de la bola unitaria , y las cuerdas de esta n -bola son las líneas hiperbólicas.

• Este modelo tiene la ventaja de que las líneas son rectas, pero la desventaja de que los ángulos están distorsionados (la transformación no es conforme ) y, además, los círculos no se representan como círculos.
• La distancia en este modelo es la mitad del logaritmo de la razón antagónica , que fue introducida por Arthur Cayley en la geometría proyectiva .

El modelo del disco de Poincaré , también conocido como modelo de disco conforme, también emplea el interior del círculo unitario , pero las líneas se representan mediante arcos de círculos ortogonales al círculo límite, más los diámetros del círculo límite.

• Este modelo conserva los ángulos y, por lo tanto, es conforme . Todas las isometrías dentro de este modelo son, por consiguiente, transformaciones de Möbius .
• Los círculos que se encuentran completamente dentro del disco siguen siendo círculos, aunque el centro euclidiano del círculo esté más cerca del centro del disco que el centro hiperbólico del círculo.
• Los horociclos son círculos dentro del disco que son tangentes al círculo límite, menos el punto de contacto.
• Los hiperciclos son cuerdas abiertas y arcos circulares dentro del disco que terminan en el círculo límite en ángulos no ortogonales.

El modelo del semiplano de Poincaré considera la mitad del plano euclidiano, delimitada por una línea B del plano, como un modelo del plano hiperbólico. La línea B no está incluida en el modelo.

El plano euclidiano puede considerarse como un plano con el sistema de coordenadas cartesianas y el eje x se toma como la línea B y el semiplano es la mitad superior ( y > 0) de este plano.

• Las líneas hiperbólicas son entonces semicírculos ortogonales a B o rayos perpendiculares a B.
• La longitud de un intervalo en un rayo viene dada por una medida logarítmica , por lo que es invariante bajo una transformación homotética.${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y),\quad \lambda >0.}$
• Al igual que el modelo del disco de Poincaré, este modelo conserva los ángulos y, por lo tanto, es conforme . Todas las isometrías dentro de este modelo son, por consiguiente, transformaciones de Möbius del plano.
• El modelo de semiplano es el límite del modelo de disco de Poincaré cuyo límite es tangente a B en el mismo punto, mientras que el radio del modelo de disco tiende al infinito.

El modelo hiperboloide o modelo de Lorentz emplea un hiperboloide de revolución bidimensional (de dos hojas, pero utilizando una sola) incrustado en el espacio de Minkowski tridimensional . Este modelo se atribuye generalmente a Poincaré, pero Reynolds ^{[ 33 ]} afirma que Wilhelm Killing lo utilizó en 1885.

• Este modelo tiene aplicación directa a la relatividad especial , ya que el espacio tridimensional de Minkowski es un modelo para el espacio-tiempo , que suprime una dimensión espacial. Se puede usar el hiperboloide para representar los eventos (posiciones en el espacio-tiempo) que varios observadores en movimiento inercial , partiendo de un evento común, alcanzarán en un tiempo propio fijo .
• La distancia hiperbólica entre dos puntos del hiperboloide puede entonces identificarse con la rapidez relativa entre los dos observadores correspondientes.
• El modelo se generaliza directamente a una dimensión adicional: una geometría hiperbólica tridimensional en un espacio 3-dimensional se relaciona con el espacio 4-dimensional de Minkowski.

El modelo hemisférico no se usa con frecuencia como modelo independiente, pero funciona como una herramienta útil para visualizar las transformaciones entre los demás modelos.

El modelo hemisférico utiliza la mitad superior de la esfera unitaria : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

Las líneas hiperbólicas son semicírculos ortogonales al límite del hemisferio.

El modelo hemisférico forma parte de una esfera de Riemann , y diferentes proyecciones dan lugar a diferentes modelos del plano hiperbólico:

• Proyección estereográfica desde ${\displaystyle (0,0,-1)}$al avión${\displaystyle z=0}$ proyecta puntos correspondientes en el modelo del disco de Poincaré
• Proyección estereográfica desde ${\displaystyle (0,0,-1)}$sobre la superficie${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0}$ proyecta puntos correspondientes en el modelo hiperboloide
• Proyección estereográfica desde${\displaystyle (-1,0,0)}$al avión${\displaystyle x=1}$proyecta puntos correspondientes en el modelo del semiplano de Poincaré
• Proyección ortográfica sobre un plano${\displaystyle z=C}$proyecta puntos correspondientes en el modelo Beltrami–Klein .
• Proyección central desde el centro de la esfera sobre el plano.${\displaystyle z=1}$proyecta puntos correspondientes en el Modelo de Gans

Todos los modelos describen esencialmente la misma estructura. La diferencia entre ellos radica en que representan diferentes cartas de coordenadas establecidas sobre el mismo espacio métrico , a saber, el plano hiperbólico. La característica principal del plano hiperbólico es su curvatura gaussiana negativa constante , que es independiente de la carta de coordenadas utilizada. Las geodésicas son igualmente invariantes: es decir, se transforman en geodésicas mediante una transformación de coordenadas. La geometría hiperbólica se introduce generalmente en términos de las geodésicas y sus intersecciones en el plano hiperbólico. ^{[ 34 ]}

Una vez que elegimos una carta de coordenadas (uno de los "modelos"), siempre podemos incrustarla en un espacio euclidiano de la misma dimensión, pero la incrustación claramente no es isométrica (ya que la curvatura del espacio euclidiano es cero). El espacio hiperbólico puede representarse mediante una infinidad de cartas diferentes; sin embargo, las incrustaciones en el espacio euclidiano debidas a estas cuatro cartas específicas muestran algunas características interesantes.

Dado que los cuatro modelos describen el mismo espacio métrico, cada uno puede transformarse en el otro.

Véase, por ejemplo:

• la relación del modelo de Beltrami-Klein con el modelo hiperboloide ,
• la relación del modelo de Beltrami-Klein con el modelo del disco de Poincaré ,
• y la relación del modelo del disco de Poincaré con el modelo hiperboloide .