Teorema de Herbrand-Ribet

En matemáticas , el teorema de Herbrand-Ribet es un resultado sobre el grupo de clases de ciertos cuerpos numéricos . Es un fortalecimiento del teorema de Ernst Kummer que establece que el primo p divide el número de clase del cuerpo ciclotómico de raíces p - ésimas de la unidad si y solo si p divide el numerador del n -ésimo número de Bernoulli B _n para algún n , 0 < n < p − 1. El teorema de Herbrand-Ribet especifica qué significa, en particular, que p divida dicho B _n .

El grupo de Galois ^Δ del campo ciclotómico de raíces p -ésimas de la unidad para un primo impar p , Q ( ζ ) con ζp = 1, consta de los p − 1 elementos del grupo σa _, donde${\displaystyle \sigma _ {a}(\zeta )=\zeta ^{a}}$. Como consecuencia del pequeño teorema de Fermat , en el anillo de enteros p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$tenemos p − 1 raíces de la unidad, cada una de las cuales es congruente módulo p con algún número en el rango de 1 a p − 1; por lo tanto, podemos definir un carácter de Dirichlet ω (el carácter de Teichmüller) con valores en${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$al requerir que para n relativamente primo a p , ω ( n ) sea congruente con n módulo p . La parte p del grupo de clases es una${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$-módulo (ya que es p -primario), por lo tanto, un módulo sobre el anillo de grupo${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}[\Delta ]}$. Ahora definimos los elementos idempotentes del anillo de grupo para cada n desde 1 hasta p − 1, como

${\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {1}{p-1}}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a)^{n}\sigma _{a}^{-1}.}$

Es fácil ver que${\displaystyle \sum \epsilon _{n}=1}$y${\displaystyle \epsilon _{i}\epsilon _{j}=\delta _{ij}\epsilon _{i}}$dónde${\displaystyle \delta _{ij}}$es la delta de Kronecker . Esto nos permite descomponer la parte p del grupo de clases ideales G de Q ( ζ ) mediante los idempotentes; si G es la parte p -primaria del grupo de clases ideales, entonces, haciendo G _n = ε _n ( G ), tenemos${\displaystyle G=\oplus G_{n}}$.

El teorema de Herbrand-Ribet establece que para n impar , G _n es no trivial si y solo si p divide al número de Bernoulli B _{p − n} . ^{[ 1 ]}

El teorema no hace ninguna afirmación sobre valores pares de n , pero no se conoce ningún p para el cual G _n sea no trivial para cualquier n par : la trivialidad para todo p sería una consecuencia de la conjetura de Vandiver . ^{[ 2 ]}

La parte que afirma que p divide a B _{p − n} si G _n no es trivial se debe a Jacques Herbrand . ^{[ 3 ]} El recíproco, que si p divide a B _{p − n} entonces G _n no es trivial, se debe a Kenneth Ribet y es considerablemente más difícil. Según la teoría de cuerpos de clases , esto solo puede ser cierto si existe una extensión no ramificada del cuerpo de raíces p -ésimas de la unidad mediante una extensión cíclica de grado p que se comporta de la manera especificada bajo la acción de Σ ; Ribet lo demuestra construyendo dicha extensión mediante métodos de la teoría de formas modulares . Una demostración más elemental del recíproco de Ribet al teorema de Herbrand, consecuencia de la teoría de sistemas de Euler , se puede encontrar en el libro de Washington sobre cuerpos ciclotómicos. ^{[ 4 ]}

Los métodos de Ribet fueron desarrollados posteriormente por Barry Mazur y Andrew Wiles con el fin de demostrar la conjetura principal de la teoría de Iwasawa , ^{[ 5 ]} un corolario del cual es un fortalecimiento del teorema de Herbrand-Ribet: la potencia de p que divide a B _{p − n} es exactamente la potencia de p que divide al orden de G _n .

• Teoría de Iwasawa
• Teorema de Stickelberger
• Conjetura de Kummer-Vandiver
• Congruencia de Ankeny-Artin-Chowla , similar para números de clase de campos cuadráticos reales.
• Número de Bernoulli § Los teoremas de Kummer