Anillo hereditario

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un anillo R se denomina hereditario si todos los submódulos de módulos proyectivos sobre R son también proyectivos. Si esto se requiere solo para submódulos finitamente generados , se denomina semihereditario .

Para un anillo no conmutativo R , los términos hereditario izquierdo y semihereditario izquierdo , junto con sus versiones para la derecha, se utilizan para distinguir la propiedad en un lado específico del anillo. Para que un anillo sea semihereditario izquierdo, todos los submódulos (finitamente generados) de R -módulos izquierdos proyectivos deben ser proyectivos; de manera similar, para que sea semihereditario derecho, todos los submódulos (finitamente generados) de R -módulos derechos proyectivos deben ser proyectivos. Es posible que un anillo sea semihereditario izquierdo pero no semihereditario derecho, y viceversa.

• El anillo R es (semi)hereditario por la izquierda si y solo si todos los ideales izquierdos ( finitamente generados ) de R son módulos proyectivos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• El anillo R es hereditario por la izquierda si y solo si todos los módulos izquierdos tienen resoluciones proyectivas de longitud como máximo 1. Esto es equivalente a decir que la dimensión global izquierda es como máximo 1. Por lo tanto, los functores derivados usuales como${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{i}}$y${\displaystyle \mathrm {Tor} _ {i}^{R}}$son triviales para${\displaystyle i>1}$.

• Los anillos semisimples son hereditarios por la izquierda y por la derecha mediante definiciones equivalentes: todos los ideales por la izquierda y por la derecha son sumandos de R y, por lo tanto, son proyectivos. De manera similar, en un anillo regular de von Neumann, todo ideal por la izquierda y por la derecha finitamente generado es un sumando directo de R , por lo que los anillos regulares de von Neumann son semihereditarios por la izquierda y por la derecha.
• Para cualquier elemento distinto de cero x en un dominio R ,${\displaystyle R\cong xR}$a través del mapa${\displaystyle r\mapsto xr}$Por lo tanto, en cualquier dominio, un ideal derecho principal es libre , y por consiguiente proyectivo. Esto refleja el hecho de que los dominios son anillos de Rickart derechos . De ello se deduce que si R es un dominio de Bézout derecho , de modo que los ideales derechos finitamente generados son principales, entonces R tiene todos los ideales derechos finitamente generados proyectivos, y por consiguiente R es semihereditario derecho. Finalmente, si se supone que R es un dominio de ideales derechos principales , entonces todos los ideales derechos son proyectivos, y R es hereditario derecho.
• Un dominio integral hereditario conmutativo se llama dominio de Dedekind . Un dominio integral semihereditario conmutativo se llama dominio de Prüfer .
• Un ejemplo importante de anillo hereditario (izquierdo) es el álgebra de caminos de un carcaj . Esto es consecuencia de la existencia de la resolución estándar (que tiene longitud 1) para módulos sobre un álgebra de caminos.
• El anillo de matriz triangular${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$es hereditario derecho y semihereditario izquierdo, pero no hereditario izquierdo.
• Si S es un anillo regular de von Neumann con un ideal I que no es un sumando directo, entonces el anillo de matriz triangular${\displaystyle {\begin{bmatrix}S/I&S/I\\0&S\end{bmatrix}}}$es semihereditario por la izquierda pero no por la derecha.

• Para un anillo hereditario izquierdo R , todo submódulo de un R -módulo izquierdo libre es isomorfo a la suma directa de ideales izquierdos de R y, por lo tanto, es proyectivo. ^{[ 2 ]}

• Crawley-Boevey, William , Notas sobre la representación del carcaj (PDF) , archivado del original (PDF) el 2 de mayo de 2003.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 , Zbl 0911.16001  
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