Anillo de Hermite

En álgebra , el término anillo de Hermite (en honor a Charles Hermite ) se ha aplicado a tres objetos diferentes.

Según Kaplansky (1949), ^{[ 1 ]} un anillo es Hermite derecho si, para cada par de elementos a y b del anillo, existe un elemento d del anillo y una matriz invertible de 2×2 M sobre el anillo tal que ( a b ) M = ( d 0 ), y el término Hermite izquierdo se define de manera similar. Las matrices sobre dicho anillo pueden ponerse en forma normal de Hermite mediante la multiplicación derecha por una matriz cuadrada invertible. ^[¹^] Lam (2006) ^[²^] llama a esta propiedad K-Hermite , usando Hermite en el sentido que se da a continuación.

Según Lam (1978), ^{[ 3 ]} un anillo es Hermite derecho si cualquier módulo derecho libre estable generado finitamente sobre el anillo es _libre . Esto es equivalente a requerir que cualquier vector fila ( b1, ..., bn) de elementos del anillo que lo generen como un módulo derecho (es decir, b1R + _... + bnR = _R ) se puede completar a una _matriz invertible (no necesariamente cuadrada ) agregando cierto número de filas. El criterio de ser Hermite izquierdo se puede definir de manera similar. Lissner (1965) ^[⁴^] llamó anteriormente a un anillo conmutativo con esta propiedad un H-anillo .

Según Cohn (2006), ^{[ 5 ]} un anillo es hermítico si, además de que cada módulo libre estable (izquierdo) es libre, tiene un número de base invariante .

Todos los anillos conmutativos que son hermitas en el sentido de Kaplansky también lo son en el sentido de Lam, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Todos los dominios de Bézout son hermitas en el sentido de Kaplansky, y un anillo conmutativo que es hermita en el sentido de Kaplansky es también un anillo de Bézout . ^{[ 2 ]}

La conjetura del anillo de Hermite , introducida por Lam (1978), ^{[ 3 ]} establece que si R es un anillo de Hermite conmutativo, entonces el anillo de polinomios R [ x ] también es un anillo de Hermite.

Referencias

1 2 Kaplansky, Irving (julio de 1949). "Divisores y módulos elementales" . Transactions of the American Mathematical Society . 66 (2): 464. doi : 10.2307/1990591 .
1 2 Lam, Tsit Yuen (2006). El problema de Serre sobre módulos proyectivos . Monografías Springer en Matemáticas. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/978-3-540-34575-6 . ISBN 978-3-540-23317-6.
1 2 Lam, TY (1978). La conjetura de Serre . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 635. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/bfb0068340 . ISBN 978-3-540-08657-4.
↑ Lissner, David (abril de 1965). "Anillos de producto exterior" . Transactions of the American Mathematical Society . 116 : 526. doi : 10.2307/1994132 .
↑ Cohn, Paul Moritz (2006). Anillos ideales libres y localización en anillos generales . Nuevas monografías matemáticas. Cambridge (GB): Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85337-8.

Lecturas adicionales

Cohn, PM (2000), "De los anillos de Hermite a los dominios de Sylvester", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 128 (7): 1899–1904 , doi : 10.1090/S0002-9939-99-05189-8 , ISSN 0002-9939 , MR 1646314

[:0-1] 1 2 Kaplansky, Irving (julio de 1949). "Divisores y módulos elementales" . Transactions of the American Mathematical Society . 66 (2): 464. doi : 10.2307/1990591 .

[:1-2] 1 2 Lam, Tsit Yuen (2006). El problema de Serre sobre módulos proyectivos . Monografías Springer en Matemáticas. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/978-3-540-34575-6 . ISBN 978-3-540-23317-6.

[:2-3] 1 2 Lam, TY (1978). La conjetura de Serre . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 635. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi : 10.1007/bfb0068340 . ISBN 978-3-540-08657-4.

[4] Lissner, David (abril de 1965). "Anillos de producto exterior" . Transactions of the American Mathematical Society . 116 : 526. doi : 10.2307/1994132 .

[5] Cohn, Paul Moritz (2006). Anillos ideales libres y localización en anillos generales . Nuevas monografías matemáticas. Cambridge (GB): Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85337-8.

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