Modelo de red jerárquica

Al pertenecer a la familia de modelos libres de escala, la distribución de grados del modelo de red jerárquica sigue la ley de potencias, lo que significa que un nodo seleccionado aleatoriamente en la red tiene k aristas con una probabilidad

${\displaystyle P\left(k\right)\sim ck^{-\gamma }\,}$

donde c es una constante y γ es el exponente de grado. En la mayoría de las redes del mundo real que exhiben propiedades de escala libre, γ se encuentra en el intervalo [2,3]. ^{[ 4 ]}

Como resultado específico para modelos jerárquicos se ha demostrado que el exponente de grado de la función de distribución se puede calcular como

${\displaystyle \gamma =1+{\frac {\ln M}{\ln(M-1)}}}$

donde M representa el factor de replicación del modelo. ^{[ 5 ]}

A diferencia de otros modelos libres de escala ( Erdős–Rényi , Barabási–Albert, Watts–Strogatz) donde el coeficiente de agrupamiento es independiente del grado de un nodo específico, en redes jerárquicas el coeficiente de agrupamiento se puede expresar como una función del grado de la siguiente manera:

${\displaystyle C\left(k\right)\sim k^{-\beta }\,}$

Se ha demostrado analíticamente que en redes libres de escala deterministas el exponente β toma el valor de 1. ^{[ 2 ]}

Basándose en la base de datos de actores disponible en www.IMDb.com, la red está definida por actores de Hollywood que están conectados entre sí si aparecieron en la misma película, lo que resulta en un conjunto de datos de 392.340 nodos y 15.347.957 aristas. Como han demostrado estudios anteriores, esta red exhibe propiedades de escala libre al menos para valores altos de k . Además, los coeficientes de agrupamiento parecen seguir la ley de escala requerida con el parámetro -1, lo que proporciona evidencia de la topología jerárquica de la red. Intuitivamente, los actores que solo han participado en una película tienen, por definición, un coeficiente de agrupamiento de uno, mientras que es muy improbable que los actores que protagonizan varias películas trabajen con el mismo equipo, lo que generalmente resulta en un coeficiente de agrupamiento decreciente a medida que aumenta el número de coprotagonistas. ^{[ 1 ]}

Las palabras pueden considerarse una red si se especifican los criterios de vinculación entre ellas. Al definir los vínculos como la aparición de un sinónimo en el diccionario Merriam-Webster, se construyó una red semántica de 182.853 nodos con 317.658 aristas. Como se comprobó, la red de palabras obtenida sigue una ley de potencias en su distribución de grados, mientras que la distribución del coeficiente de agrupamiento indica que la red subyacente sigue una estructura jerárquica con γ = 3,25 y β = 1. ^{[ 1 ]}

Al mapear el dominio www.nd.edu, se obtuvo una red de 325.729 nodos y 1.497.135 aristas, cuya distribución de grados siguió una ley de potencias con γ _out = 2,45 y γ _in = 2,1 para los grados de salida y entrada, respectivamente. La evidencia de la distribución de la ley de escala de los coeficientes de agrupamiento es significativamente más débil que en los casos anteriores, aunque existe un patrón decreciente claramente visible en la distribución de C(k), lo que indica que cuantos más enlaces tenga un dominio, menos interconectadas estarán las páginas web enlazadas/que enlazan. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

Se encontró que la red de dominios , es decir, internet a nivel de sistema autónomo (AS), donde se dice que los dominios administrativos están conectados si existe un enrutador que los conecta, comprende 65.520 nodos y 24.412 enlaces entre ellos, y exhibe las propiedades de una red libre de escala. La distribución muestral de los coeficientes de agrupamiento se ajustó mediante la función de escala C(k)~k ^−0,75 , cuyo exponente es (en términos absolutos) algo menor que el parámetro teórico para redes libres de escala deterministas. ^{[ 1 ] [ 7 ]}