Mecanismo de Higgs

En el Modelo Estándar, el campo de Higgs es un doblete SU(2) ( es decir , la representación estándar con dos componentes complejas llamadas isospín), que es un escalar bajo transformaciones de Lorentz. Su carga eléctrica es cero; su isospín débil es 1/2 y la tercera componente del isospín débil es −1/2 ; y su hipercarga débil ( la carga para el grupo de gauge U(1) definida salvo una constante multiplicativa arbitraria) es 1. Bajo rotaciones U(1), se multiplica por una fase, lo que mezcla las partes real e imaginaria del espinor complejo, combinándolas en la representación compleja estándar de dos componentes del grupo U(2).

El campo de Higgs, a través de las interacciones especificadas (resumidas, representadas o incluso simuladas) por su potencial, induce la ruptura espontánea de tres de los cuatro generadores ("direcciones") del grupo de gauge U(2). Esto se suele escribir como SU(2) _L × U(1) _Y (que, estrictamente hablando, solo es lo mismo a nivel de simetrías infinitesimales) porque el factor de fase diagonal también actúa sobre otros campos, en particular los quarks . Tres de sus cuatro componentes se resolverían normalmente como bosones de Goldstone si no estuvieran acoplados a campos de gauge.

Sin embargo, después de la ruptura de simetría, estos tres de los cuatro grados de libertad en el campo de Higgs se mezclan con los tres bosones W y Z ( W ⁺, W ⁻y Z ⁰), y solo son observables como componentes de estos bosones débiles , que se vuelven masivos por su inclusión; solo el grado de libertad restante se convierte en una nueva partícula escalar: el bosón de Higgs . Los componentes que no se mezclan con los bosones de Goldstone forman un fotón sin masa.

El grupo de calibre de la parte electrodébil del modelo estándar es SU(2) _L × U(1) _Y . El grupo SU(2) es el grupo de todas las matrices unitarias de 2x2 con determinante unitario; todos los cambios ortonormales de coordenadas en un espacio vectorial complejo bidimensional.

Al rotar las coordenadas de modo que el segundo vector base apunte en la dirección del bosón de Higgs, el valor esperado en el vacío de H es el espinor (0, v ) . Los generadores para rotaciones alrededor de los ejes x, y y z son la mitad de las matrices de Pauli σ _x , σ _y , y σ _z , de modo que una rotación de ángulo θ alrededor del eje z lleva el vacío a 

${\displaystyle \ {\Bigl (}\ 0\ ,\ v\ e^{-{\tfrac {1}{2}}\ i\ \theta }\ {\Bigr )}~.}$

Mientras que los generadores T _x y T _y mezclan los componentes superior e inferior del espinor , las rotaciones T _z solo multiplican cada una por fases opuestas. Esta fase puede deshacerse mediante una rotación U(1) de ángulo ⁠ 1 / 2 ⁠ θ . En consecuencia, bajo una rotación T _z de SU(2) y una rotación U(1) de ⁠ 1 / 2 ⁠ θ , el vacío es invariante.

Esta combinación de generadores

${\displaystyle \ Q=T_{3}+{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}\ }$

define la parte intacta del grupo de gauge, donde Q es la carga eléctrica, T ₃ es el generador de rotaciones alrededor del eje 3 en la representación adjunta de SU(2) y Y _W es el generador de hipercarga débil de U(1). Esta combinación de generadores (una rotación 3 en SU(2) y una rotación simultánea de U(1) por la mitad del ángulo) preserva el vacío y define el grupo de gauge intacto en el modelo estándar, a saber, el grupo de carga eléctrica. La parte del campo de gauge en esta dirección permanece sin masa y equivale al fotón físico. Por el contrario, la carga ortogonal a la traza rota${\displaystyle \ T_{3}-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}=2\ T_{3}-Q\ }$parejas al enorme Z ⁰ bosón.

A pesar de la introducción de la ruptura espontánea de simetría, los términos de masa impiden la invariancia de gauge quiral. Para estos campos, los términos de masa siempre deben reemplazarse por un mecanismo de "Higgs" invariante de gauge. Una posibilidad es algún tipo de acoplamiento de Yukawa (véase más adelante) entre el campo fermiónico ψ y el campo de Higgs.${\displaystyle \phi }$, con acoplamientos desconocidos G _ψ , que después de la ruptura de simetría (más precisamente: después de la expansión de la densidad de Lagrange alrededor de un estado fundamental adecuado) vuelve a dar como resultado los términos de masa originales, que ahora, sin embargo (es decir, por la introducción del campo de Higgs) se escriben de forma invariante de gauge. La densidad de Lagrange para la interacción de Yukawa de un campo fermiónico ψ y el campo de Higgs${\displaystyle \phi }$es

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {Fermion} }(\phi ,A,\psi )~=~{\overline {\psi }}\ \gamma ^{\mu }\ D_{\mu }\ \psi ~+~G_{\psi }\ {\overline {\psi }}\ \phi \ \psi \ ,}$

donde nuevamente el campo de gauge A solo entra a través del operador de derivada covariante de gauge D _μ (es decir, solo es visible indirectamente). Las cantidades γ _μ son las matrices de Dirac , y G _ψ es el parámetro de acoplamiento de Yukawa ya mencionado para ψ . Ahora la generación de masa sigue el mismo principio que arriba, es decir, a partir de la existencia de un valor esperado finito .${\displaystyle \vert \langle \phi \rangle \vert }$⁠ . De nuevo, esto es crucial para la existencia de la propiedad masa .

La ruptura espontánea de simetría ofreció un marco para introducir bosones en las teorías cuánticas de campos relativistas. Sin embargo, según el teorema de Goldstone , estos bosones deberían ser sin masa. ^{[ 16 ]} Las únicas partículas observadas que podían interpretarse aproximadamente como bosones de Goldstone eran los piones , que Yoichiro Nambu relacionó con la ruptura de simetría quiral .

Un problema similar surge con la teoría de Yang-Mills (también conocida como teoría de gauge no abeliana ), que predice bosones de gauge sin masa con espín -1 . Los bosones de gauge sin masa que interactúan débilmente dan lugar a fuerzas de largo alcance, que solo se observan en el electromagnetismo y el fotón sin masa correspondiente . Las teorías de gauge de la fuerza débil necesitaban una forma de describir los bosones de gauge con masa para ser consistentes.

Que la ruptura de las simetrías de gauge no condujera a partículas sin masa fue observado en 1961 por Julian Schwinger ^{[ 17 ]} , pero no demostró que se producirían partículas con masa. Esto se hizo en el artículo de Philip Warren Anderson de 1962 ^{[ 3 ]} , pero solo en la teoría de campos no relativista; también se discutieron las consecuencias para la física de partículas, pero no se desarrolló un modelo relativista explícito. El modelo relativista fue desarrollado en 1964 por tres grupos independientes:

• Robert Brout y François Englert ^{[ 4 ]}
• Peter Higgs ^{[ 5 ]}
• Gerald Guralnik , Carl Richard Hagen y Tom Kibble . ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

Un poco más tarde, en 1965, pero independientemente de las otras publicaciones ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} , Alexander Migdal y Alexander Polyakov , ^{[ 24 ]} en ese momento estudiantes universitarios soviéticos, también propusieron el mecanismo . Sin embargo, su artículo fue retrasado por la oficina editorial de JETP y se publicó tarde, en 1966.

El mecanismo es muy análogo a fenómenos descubiertos previamente por Yoichiro Nambu que involucran la "estructura de vacío" de campos cuánticos en la superconductividad . ^{[ 25 ]} Un efecto similar pero distinto (que involucra una realización afín de lo que ahora se reconoce como el campo de Higgs), conocido como el mecanismo de Stueckelberg , había sido estudiado previamente por Ernst Stueckelberg .

Estos físicos descubrieron que cuando una teoría de gauge se combina con un campo adicional que rompe espontáneamente el grupo de simetría, los bosones de gauge pueden adquirir consistentemente una masa distinta de cero. A pesar de los grandes valores involucrados (ver más abajo), esto permite una descripción de la fuerza débil mediante una teoría de gauge, que fue desarrollada independientemente por Steven Weinberg y Abdus Salam en 1967. El artículo original de Higgs que presentaba el modelo fue rechazado por Physics Letters . Al revisar el artículo antes de volver a enviarlo a Physical Review Letters , agregó una frase al final, ^{[ 26 ]} mencionando que implica la existencia de uno o más bosones escalares nuevos y masivos, que no forman representaciones completas del grupo de simetría; estos son los bosones de Higgs.

Los tres artículos de Brout y Englert; Higgs; y Guralnik, Hagen y Kibble fueron reconocidos como "cartas de referencia" por Physical Review Letters en 2008. ^{[ 27 ]} Si bien cada uno de estos artículos fundamentales adoptó enfoques similares, las contribuciones y diferencias entre los artículos de ruptura de simetría PRL de 1964 son dignas de mención. Los seis físicos recibieron conjuntamente el Premio JJ Sakurai de Física Teórica de Partículas de 2010 por este trabajo. ^{[ 28 ]}

A menudo se le atribuye a Benjamin W. Lee el haber sido el primero en nombrar el mecanismo "similar al de Higgs", aunque existe debate sobre cuándo ocurrió esto por primera vez. ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} Una de las primeras veces que el nombre de Higgs apareció impreso fue en 1972, cuando Gerardus 't Hooft y Martinus JG Veltman se refirieron a él como el "mecanismo de Higgs-Kibble" en su artículo ganador del Premio Nobel. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

El mecanismo de Higgs propuesto surgió como resultado de teorías que intentaban explicar las observaciones en la superconductividad . Un superconductor no permite la penetración de campos magnéticos externos ( efecto Meissner ). Esta extraña observación implica que el campo electromagnético, de alguna manera, se vuelve de corto alcance durante este fenómeno. Surgieron teorías exitosas para explicar esto durante la década de 1950, primero para fermiones ( teoría de Ginzburg-Landau , 1950) y luego para bosones ( teoría BCS , 1957).

En estas teorías, la superconductividad se interpreta como resultado de un condensado cargado . Inicialmente, el valor del condensado no tiene una dirección preferida. Esto implica que es escalar, pero su fase es capaz de definir una gauge en las teorías de campo basadas en gauge. Para ello, el campo debe estar cargado. Un campo escalar cargado también debe ser complejo (o, dicho de otro modo, contiene al menos dos componentes y una simetría capaz de rotarlas entre sí). En la teoría de gauge ingenua, una transformación de gauge de un condensado suele rotar la fase. Sin embargo, en estas circunstancias, fija una elección preferida de fase. Resulta que fijar la elección de gauge de modo que el condensado tenga la misma fase en todas partes también provoca que el campo electromagnético adquiera un término adicional. Este término adicional hace que el campo electromagnético se vuelva de corto alcance.

El teorema de Goldstone también desempeña un papel importante en estas teorías. La conexión radica en que, técnicamente, cuando un condensado rompe una simetría, el estado resultante al aplicarle un generador de simetría conserva la misma energía que antes. Esto implica que algunos tipos de oscilación no conllevan un cambio de energía. Las oscilaciones con energía constante sugieren que las excitaciones (partículas) asociadas a la oscilación carecen de masa.

Una vez que esta teoría se introdujo en la física de partículas, los paralelismos resultaron evidentes. Un cambio del campo electromagnético, generalmente de largo alcance, a uno de corto alcance, dentro de una teoría invariante de gauge, era precisamente el efecto necesario para los bosones que median la interacción débil (ya que una fuerza de largo alcance implica bosones de gauge sin masa, y una fuerza de corto alcance implica bosones de gauge con masa, lo que sugiere que, como resultado de esta interacción, los bosones de gauge del campo adquirieron masa, o un efecto similar y equivalente). Las características del campo necesarias para lograr esto también estaban bastante bien definidas: debía ser un campo escalar cargado, con al menos dos componentes, y complejo para sustentar una simetría capaz de rotarlas entre sí.

El mecanismo de Higgs es un tipo de superconductividad que se produce en el vacío. Ocurre cuando todo el espacio está lleno de un mar de partículas cargadas o, en términos de campos, cuando un campo cargado tiene un valor esperado en el vacío distinto de cero. La interacción con el fluido cuántico que llena el espacio impide que ciertas fuerzas se propaguen a largas distancias (como sucede dentro de un superconductor; por ejemplo, en la teoría de Ginzburg-Landau ).

Un superconductor expulsa todos los campos magnéticos de su interior, un fenómeno conocido como efecto Meissner . Esto fue un misterio durante mucho tiempo, ya que implica que las fuerzas electromagnéticas se vuelven de corto alcance dentro del superconductor. Compárese esto con el comportamiento de un metal común. En un metal, la conductividad apantalla los campos eléctricos redistribuyendo las cargas en la superficie hasta que el campo total se anula en el interior.

Pero los campos magnéticos pueden penetrar a cualquier distancia, y si un monopolo magnético (un polo magnético aislado) está rodeado de metal, el campo puede escapar sin colimarse formando una cuerda. En un superconductor, sin embargo, las cargas eléctricas se mueven sin disiparse, lo que permite la existencia de corrientes superficiales permanentes, no solo cargas superficiales. Cuando se introducen campos magnéticos en el límite de un superconductor, estos producen corrientes superficiales que los neutralizan por completo.

El efecto Meissner surge debido a las corrientes en una capa superficial delgada, cuyo espesor se puede calcular a partir del modelo simple de la teoría de Ginzburg-Landau, que trata la superconductividad como un condensado de Bose-Einstein cargado.

Supongamos que un superconductor contiene bosones con carga q . La función de onda de los bosones se puede describir introduciendo un campo cuántico ,${\displaystyle \ \psi \ ,}$que obedece la ecuación de Schrödinger como una ecuación de campo . En unidades donde la constante de Planck reducida , ħ , se establece en 1:

${\displaystyle i\ {\frac {\partial }{\ \partial t\ }}\ \psi ~=~{\frac {\ \left(\nabla -iqA\right)^{2}}{2m}}\ \psi ~.}$

El operador${\displaystyle \psi (x)}$aniquila un bosón en el punto x , mientras que su adjunto${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$crea un nuevo bosón en el mismo punto. La función de onda del condensado de Bose-Einstein es entonces el valor esperado.${\displaystyle \langle \psi \rangle }$de​${\displaystyle \psi (x)}$, que es una función clásica que obedece la misma ecuación. La interpretación del valor esperado es que es la fase que se debe dar a un bosón recién creado para que se superponga coherentemente con todos los demás bosones que ya están en el condensado.

Cuando hay un condensado cargado, las interacciones electromagnéticas se apantallan. Para ver esto, consideremos el efecto de una transformación de gauge sobre el campo. Una transformación de gauge rota la fase del condensado en una cantidad que varía de un punto a otro y desplaza el potencial vectorial mediante un gradiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &\rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \\A&\rightarrow A+\nabla \phi ~.\end{aligned}}}$

Cuando no hay condensado, esta transformación solo cambia la definición de la fase de${\displaystyle \ \psi \ }$en cada punto. Pero cuando hay un condensado, la fase del condensado define una elección de fase preferida.

La función de onda del condensado se puede escribir como

${\displaystyle \psi (x)=\rho (x)\ e^{i\theta (x)}\ ,}$

donde ρ es la amplitud real, que determina la densidad local del condensado. Si el condensado fuera neutro, el flujo se produciría a lo largo de los gradientes de θ , la dirección en la que cambia la fase del campo de Schrödinger. Si la fase θ cambia lentamente, el flujo es lento y tiene muy poca energía. Pero ahora θ puede hacerse igual a cero simplemente realizando una transformación de gauge para rotar la fase del campo.

La energía de los cambios de fase lentos se puede calcular a partir de la energía cinética de Schrödinger,

${\displaystyle \ H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl |}\left(iqA+\nabla \right)\psi {\Bigr |}^{2}\ ,}$

y tomando la densidad del condensado ρ como constante,

${\displaystyle H\approx {\frac {~\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ \left(qA+\nabla \theta \right)^{2}~.}$

Al fijar la elección del calibre de modo que el condensado tenga la misma fase en todas partes, la energía del campo electromagnético tiene un término adicional,

${\displaystyle {\frac {\;q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}A^{2}~.}$

Cuando este término está presente, las interacciones electromagnéticas se vuelven de corto alcance. Cada modo de campo, sin importar cuán larga sea la longitud de onda, oscila con una frecuencia distinta de cero. La frecuencia más baja se puede leer a partir de la energía de un modo A de longitud de onda larga ,

${\displaystyle E\approx {\frac {\;{\dot {A}}^{2}}{2}}+{\frac {\ q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ A^{2}~.}$

Este es un oscilador armónico con frecuencia

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{\ m\ }}\ q^{2}\ \rho ^{2}\ }}~.}$

La cantidad${\displaystyle \ \left|\psi (x)\right|^{2}=\rho ^{2}\ }$es la densidad del condensado de partículas superconductoras.

En un superconductor real, las partículas cargadas son electrones, que son fermiones, no bosones. Por lo tanto, para que exista superconductividad, los electrones deben unirse de alguna manera formando pares de Cooper . La carga del condensado q es, por consiguiente, el doble de la carga del electrón −e . El apareamiento en un superconductor normal se debe a vibraciones de la red cristalina y, de hecho, es muy débil; esto significa que los pares están muy débilmente unidos. La descripción de un condensado de Bose-Einstein de pares débilmente unidos es en realidad más difícil que la descripción de un condensado de partículas elementales, y no fue desarrollada hasta 1957 por John Bardeen , Leon Cooper y John Robert Schrieffer en la famosa teoría BCS .

La invariancia de gauge implica que ciertas transformaciones del campo de gauge no alteran la energía. Si se añade un gradiente arbitrario a A , la energía del campo permanece inalterada. Esto dificulta la adición de un término de masa, ya que este tiende a desplazar el campo hacia el valor cero. Sin embargo, el valor cero del potencial vectorial no es una idea de invariancia de gauge. Lo que es cero en un gauge no es cero en otro.

Para que una teoría de gauge tenga validez, la invariancia de gauge debe romperse mediante un condensado. El condensado definirá entonces una fase preferida, y esta fase definirá el valor cero del campo de forma invariante de gauge. La definición de invariancia de gauge establece que un campo de gauge es cero cuando el cambio de fase a lo largo de cualquier trayectoria de transporte paralelo es igual a la diferencia de fase en la función de onda del condensado.

El valor del condensado se describe mediante un campo cuántico con un valor esperado, al igual que en el modelo de Ginzburg-Landau .

Para que la fase del vacío defina una gauge, el campo debe tener fase (también se denomina "estar cargado"). Para que un campo escalar Φ tenga fase, debe ser complejo o, equivalentemente, debe contener dos campos con una simetría que los rote entre sí. El potencial vectorial modifica la fase de los cuantos producidos por el campo al moverse de un punto a otro. En términos de campos, define cuánto deben rotarse las partes real e imaginaria de los campos entre sí al comparar los valores del campo en puntos cercanos.

El único modelo renormalizable donde un campo escalar complejo Φ adquiere un valor distinto de cero es el modelo del "sombrero mexicano", donde la energía del campo tiene un mínimo lejos de cero. La acción para este modelo es

${\displaystyle \ S(\phi )=\int d^{4}x\left[{\tfrac {1}{2}}\left|\partial \phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]\ ,}$

lo que da como resultado el hamiltoniano

${\displaystyle \ H(\phi )={\tfrac {1}{2}}\left(\left|{\dot {\phi }}\right|^{2}+\left|\nabla \phi \right|^{2}\right)+V\left(\left|\phi \right|\right)~.}$

El primer término representa la energía cinética del campo. El segundo término representa la energía potencial adicional que se produce cuando el campo varía de un punto a otro. El tercer término representa la energía potencial cuando el campo tiene una magnitud determinada.

Esta energía potencial, el potencial de Higgs , ${\displaystyle ~V\left(\phi ,\Phi \right)=\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\ ,}$^{[ 34 ]} tiene un gráficoque parece unsombrero mexicano, lo que da nombre al modelo. En particular, el valor mínimo de energía no está en${\displaystyle \phi =0}$pero en el círculo de puntos donde la magnitud de${\displaystyle \phi }$es Φ .

Cuando el campo Φ( x ) no está acoplado al electromagnetismo, el potencial de sombrero mexicano tiene direcciones planas. Comenzar en cualquiera de los círculos de vacío y cambiar la fase del campo de un punto a otro cuesta muy poca energía. Matemáticamente, si

${\displaystyle \ \phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\ }$

Con un factor constante, la acción para el campo θ ( x ) , es decir, la "fase" del campo de Higgs Φ( x ) , solo tiene términos derivados. Esto no es sorprendente: agregar una constante a θ ( x ) es una simetría de la teoría original, por lo que diferentes valores de θ ( x ) no pueden tener energías diferentes. Este es un ejemplo de cómo configurar el modelo para que se ajuste al teorema de Goldstone : las simetrías continuas que se rompen espontáneamente (normalmente) producen excitaciones sin masa.

El modelo de Higgs abeliano es el modelo del sombrero mexicano acoplado al electromagnetismo :

${\displaystyle \ S(\phi ,A_{\mu })=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\left|\left(\partial _{\mu }-iqA_{\mu }\right)\phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]~.}$

El vacío clásico se encuentra nuevamente en el mínimo del potencial, donde la magnitud del campo complejo${\displaystyle \phi }$es igual a Φ . Pero ahora la fase del campo es arbitraria, porque las transformaciones de gauge la cambian. Esto significa que el campo${\displaystyle \ \theta (x)\ }$puede establecerse a cero mediante una transformación de calibre y no representa ningún grado de libertad real.

Además, al elegir un calibre donde la fase del vacío es fija, la energía potencial para las fluctuaciones del campo vectorial es distinta de cero. Por lo tanto, en el modelo de Higgs abeliano, el campo de calibre adquiere una masa. Para calcular la magnitud de la masa, consideremos un valor constante del potencial vectorial A en la dirección x en el calibre donde el condensado tiene fase constante. Esto es equivalente a un condensado que varía sinusoidalmente en el calibre donde el potencial vectorial es cero. En el calibre donde A es cero, la densidad de energía potencial en el condensado es la energía del gradiente escalar:

${\displaystyle \ E={\tfrac {1}{2}}\left|\partial \left(\Phi e^{iqAx}\right)\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}~.}$

Esta energía es la misma que un término de masa ⁠ 1 / 2 ⁠ m ² A ² donde m = q Φ .

El modelo de Higgs no abeliano tiene la siguiente acción:

${\displaystyle S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |),}$

donde ahora el campo no abeliano A está contenido en la derivada covariante D y en las componentes tensoriales${\displaystyle F^{\mu \nu }}$y${\displaystyle F_{\mu \nu }}$(la relación entre A y esos componentes es bien conocida a partir de la teoría de Yang-Mills ).

Es exactamente análogo al modelo de Higgs abeliano. Ahora el campo${\displaystyle \phi }$está en una representación del grupo de calibre, y la derivada covariante de calibre se define por la tasa de cambio del campo menos la tasa de cambio del transporte paralelo usando el campo de calibre A como una conexión.

${\displaystyle D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi }$

Nuevamente, el valor esperado de${\displaystyle \phi }$define un calibre preferido donde el vacío es constante, y fijando este calibre, las fluctuaciones en el campo de calibre A vienen con un costo de energía distinto de cero.

Dependiendo de la representación del campo escalar, no todos los campos de gauge adquieren masa. Un ejemplo sencillo se encuentra en la versión renormalizable de un modelo electrodébil temprano debido a Julian Schwinger . En este modelo, el grupo de gauge es SO(3) (o SU(2) − no hay representaciones espinoriales en el modelo), y la invariancia de gauge se rompe a U(1) o SO(2) a grandes distancias. Para hacer una versión renormalizable consistente usando el mecanismo de Higgs, se introduce un campo escalar.${\displaystyle \phi ^{a}}$que se transforma como un vector (una tripleta) de SO(3). Si este campo tiene un valor esperado en el vacío, apunta en alguna dirección en el espacio de campos. Sin pérdida de generalidad, se puede elegir el eje z en el espacio de campos como la dirección que${\displaystyle \phi }$está señalando, y luego el valor esperado del vacío de${\displaystyle \phi }$es (0, 0, à ) , donde à es una constante con dimensiones de masa ( ⁠${\displaystyle c=\hbar =1}$⁠ ).

Las rotaciones alrededor del eje z forman un subgrupo U(1) de SO(3) que conserva el valor esperado del vacío de${\displaystyle \phi }$y este es el grupo de gauge ininterrumpido. Las rotaciones alrededor de los ejes x e y no preservan el vacío, y los componentes del campo de gauge SO(3) que generan estas rotaciones se convierten en mesones vectoriales masivos. Hay dos  mesones W masivos en el modelo de Schwinger, con una masa determinada por la escala de masa à , y un bosón de gauge U(1) sin masa, similar al fotón.

El modelo de Schwinger predice monopolos magnéticos a la escala de unificación electrodébil y no predice el  bosón Z. No rompe la simetría electrodébil de forma adecuada, como ocurre en la naturaleza. Sin embargo, históricamente, un modelo similar (aunque sin utilizar el mecanismo de Higgs) fue el primero en el que se unificaron la fuerza débil y la fuerza electromagnética.

Ernst Stueckelberg descubrió ^{[ 35 ]} una versión del mecanismo de Higgs analizando la teoría de la electrodinámica cuántica con un fotón masivo. En efecto, el modelo de Stueckelberg es un límite del modelo abeliano de Higgs de sombrero mexicano regular, donde el valor esperado del vacío H tiende a infinito y la carga del campo de Higgs tiende a cero de tal manera que su producto permanece fijo. La masa del bosón de Higgs es proporcional a H , por lo que el bosón de Higgs se vuelve infinitamente masivo y se desacopla, por lo que no está presente en la discusión. Sin embargo, la masa del mesón vectorial es igual al producto eH y permanece finita.

La interpretación es que cuando un campo de gauge U(1) no requiere cargas cuantizadas, es posible conservar solo la parte angular de las oscilaciones de Higgs y descartar la parte radial. La parte angular del campo de Higgs θ tiene la siguiente ley de transformación de gauge:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &\rightarrow \theta +e\alpha \,\\A&\rightarrow A+\partial \alpha ~.\end{aligned}}}$

La derivada covariante de gauge para el ángulo (que en realidad es invariante de gauge) es:

${\displaystyle D\theta =\partial \theta -eAH~.}$

Para mantener las fluctuaciones de θ finitas y distintas de cero en este límite, θ debe reescalarse por H , de modo que su término cinético en la acción permanezca normalizado. La acción para el campo theta se lee a partir de la acción del sombrero mexicano sustituyendo ${\displaystyle \phi =He^{i\theta /H}}$.

${\displaystyle S=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(D\theta )^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -HeA)^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -mA)^{2}{\bigr ]}}$

ya que eH es la masa del bosón de gauge. Al realizar una transformación de gauge para establecer θ = 0 , se elimina la libertad de gauge en la acción, y la acción se convierte en la de un campo vectorial masivo:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\int {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}F^{2}+m^{2}A^{2}{\bigr ]}\,.}$

Para tener cargas arbitrariamente pequeñas, se requiere que el U(1) no sea el círculo de números complejos unitarios bajo la multiplicación, sino los números reales bajo la suma, que solo difieren en la topología global. Dicho grupo U(1) no es compacto. El campo θ se transforma como una representación afín del grupo de gauge. Entre los grupos de gauge permitidos, solo el U(1) no compacto admite representaciones afines, y se sabe experimentalmente que el U(1) del electromagnetismo es compacto, ya que la cuantización de carga se cumple con una precisión extremadamente alta.

En este modelo, el condensado de Higgs tiene una carga infinitesimal, por lo que las interacciones con el bosón de Higgs no violan la conservación de la carga. La teoría de la electrodinámica cuántica con un fotón masivo sigue siendo una teoría renormalizable, en la que la carga eléctrica se conserva, pero no se permiten monopolos magnéticos . Para la teoría de gauge no abeliana, no existe un límite afín, y las oscilaciones de Higgs no pueden ser mucho más masivas que los vectores.