El grupo Chow superior de Bloch

En geometría algebraica , los grupos de Chow superiores de Bloch , una generalización del grupo de Chow , son precursores y un ejemplo básico de cohomología motivacional (para variedades lisas). Fueron introducidos por Spencer Bloch ( Bloch 1986 ) y la teoría básica ha sido desarrollada por Bloch y Marc Levine .

En términos más precisos, un teorema de Voevodsky ^{[ 1 ]} implica: para un esquema suave X sobre un cuerpo y enteros p , q , existe un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Z} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)}$

entre grupos de cohomología motivacional y grupos de Chow superiores.

Una de las motivaciones para los grupos de Chow superiores proviene de la teoría de la homotopía. En particular, si${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z_{*}(X)}$son ciclos algebraicos en${\displaystyle X}$que son racionalmente equivalentes a través de un ciclo${\displaystyle \gamma \in Z_{*}(X\times \Delta ^{1})}$, entonces${\displaystyle \gamma }$puede pensarse como un camino entre${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$y los grupos de Chow superiores están destinados a codificar la información de mayor coherencia homotópica. Por ejemplo,

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,0)}$

pueden pensarse como las clases de homotopía de ciclos, mientras que

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,1)}$

pueden considerarse como las clases de homotopía de homotopías de ciclos.

Sea X un esquema algebraico cuasiproyectivo sobre un cuerpo (“algebraico” significa separado y de tipo finito).

Para cada número entero${\displaystyle q\geq 0}$, definir

${\displaystyle \Delta ^{q}=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [t_{0},\dots ,t_{q}]/(t_{0}+\dots +t_{q}-1)),}$

que es un análogo algebraico de un q -símplex estándar. Para cada secuencia${\displaystyle 0\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq q}$, el subesquema cerrado${\displaystyle t_{i_{1}}=t_{i_{2}}=\cdots =t_{i_{r}}=0}$, que es isomorfo a${\displaystyle \Delta ^{qr}}$, se llama una cara de${\displaystyle \Delta ^{q}}$.

Para cada i , existe la incrustación

${\displaystyle \partial _{q,i}:\Delta ^{q-1}{\overset {\sim }{\to }}\{t_{i}=0\}\subset \Delta ^{q}.}$

Escribimos${\displaystyle Z_{i}(X)}$para el grupo de i- ciclos algebraicos en X y ${\displaystyle z_{r}(X,q)\subset Z_{r+q}(X\times \Delta ^{q})}$para el subgrupo generado por subvariedades cerradas que se intersecan adecuadamente con${\displaystyle X\times F}$para cada cara F de${\displaystyle \Delta ^{q}}$.

Desde${\displaystyle \partial _{X,q,i}=\operatorname {id} _{X}\times \partial _{q,i}:X\times \Delta ^{q-1}\hookrightarrow X\times \Delta ^{q}}$es un divisor de Cartier efectivo, existe el homomorfismo de Gysin :

${\displaystyle \partial _{X,q,i}^{*}:z_{r}(X,q)\to z_{r}(X,q-1)}$,

que (por definición) asigna una subvariedad V a la intersección${\displaystyle (X\times \{t_{i}=0\})\cap V.}$

Defina el operador de frontera${\displaystyle d_{q}=\sum _{i=0}^{q}(-1)^{i}\partial _{X,q,i}^{*}}$lo que produce el complejo de cadena

${\displaystyle \cdots \to z_{r}(X,q){\overset {d_{q}}{\to }}z_{r}(X,q-1){\overset {d_{q-1}}{\to }}\cdots {\overset {d_{1}}{\to }}z_{r}(X,0).}$

Finalmente, el grupo de Chow superior q de X se define como la homología q del complejo anterior:

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\operatorname {H} _{q}(z_{r}(X,\cdot )).}$

(Más sencillamente, ya que${\displaystyle z_{r}(X,\cdot)}$es naturalmente un grupo abeliano simplicial , en vista de la correspondencia de Dold-Kan , los grupos de Chow superiores también pueden definirse como grupos de homotopía.${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\pi _{q}z_{r}(X,\cdot )}$.)

Por ejemplo, si${\displaystyle V\subset X\times \Delta ^{1}}$^{[ 2 ]} es una subvariedad cerrada tal que las intersecciones${\displaystyle V(0),V(\infty)}$con las caras${\displaystyle 0,\infty }$son adecuados, entonces ${\displaystyle d_{1}(V)=V(0)-V(\infty )}$y esto significa, por la Proposición 1.6. de la teoría de la intersección de Fulton , que la imagen de${\displaystyle d_{1}}$es precisamente el grupo de ciclos racionalmente equivalentes a cero; es decir,

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,0)=}$el r -ésimo grupo de Chow de X.

( Bloch 1994 ) demostró que, dado un subconjunto abierto${\displaystyle U\subset X}$, para${\displaystyle Y=X-U}$,

${\displaystyle z(X,\cdot )/z(Y,\cdot )\to z(U,\cdot )}$

es una equivalencia homotópica. En particular, si${\displaystyle Y}$tiene codimensión pura , entonces produce la secuencia exacta larga para grupos de Chow superiores (llamada secuencia de localización).

Con coeficientes racionales, los grupos Chow superiores se identifican con una pieza algebraica.${\displaystyle K}$-teoría ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Q} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)\otimes \mathbb {Q} \simeq K_{2p-q}(X)^{(q)},}$

es decir, el espacio propio de la operación de Adams${\displaystyle \Psi ^{l}}$asociado al valor propio${\displaystyle l^{q}}$(que no depende de la elección de${\displaystyle l}$).

• Bloch, Spencer (septiembre de 1986). "Ciclos algebraicos y teoría K superior" . Advances in Mathematics . 61 : 267–304 . doi : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 .
• Bloch, Spencer (1994). "El lema móvil para grupos de Chow superiores". Journal of Algebraic Geometry . 3 : 537–568 .
• Peter Haine, Una visión general de la cohomología motivacional
• Vladmir Voevodsky, “Los grupos de cohomología motivacional son isomorfos a grupos de Chow superiores en cualquier característica”, International Mathematics Research Notices 7 (2002), 351–355.