dimensión de Higuchi

En geometría fractal , la dimensión de Higuchi (o dimensión fractal de Higuchi (HFD) ) es un valor aproximado de la dimensión de conteo de cajas de la gráfica de una función o serie temporal de valores reales. Este valor se obtiene mediante una aproximación algorítmica, por lo que también se habla del método de Higuchi . Tiene numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería y se ha aplicado a temas como la caracterización de ondas primarias en sismogramas , ^{[ 1 ]} neurofisiología clínica ^{[ 2 ]} y el análisis de cambios en el electroencefalograma en la enfermedad de Alzheimer. ^{[ 3 ]}

La formulación original del método se debe a T. Higuchi. ^{[ 4 ]} Dada una serie temporal${\displaystyle X:\{1,\dots ,N\}\to \mathbb {R} }$compuesto de${\displaystyle N}$puntos de datos y un parámetro${\displaystyle k_{\mathrm {max} }\geq 2}$la dimensión fractal de Higuchi (HFD)${\displaystyle X}$se calcula de la siguiente manera: Para cada${\displaystyle k\in \{1,\dots ,k_{\mathrm {max} }}\}$y${\displaystyle m\in \{1,\dots ,k}\}$define la longitud${\displaystyle L_{m}(k)}$por

${\displaystyle L_{m}(k)={\frac {N-1}{\lfloor {\frac {Nm}{k}}\rfloor k^{2}}}\sum _{i=1}^{\lfloor {\frac {Nm}{k}}\rfloor }|X_{N}(m+ik)-X_{N}(m+(i-1)k)|.}$

La longitud${\displaystyle L(k)}$se define por el valor promedio de la${\displaystyle k}$longitudes${\displaystyle L_{1}(k),\dots ,L_{k}(k)}$,

${\displaystyle L(k)={\frac {1}{k}}\sum _{m=1}^{k}L_{m}(k).}$

La pendiente de la función lineal que mejor se ajusta a través de los puntos de datos.${\displaystyle \left\{\left(\log {\frac {1}{k}},\log L(k)\right)\right\}}$se define como la dimensión fractal de Higuchi de la serie temporal${\displaystyle X}$.

Para una función de valor real${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$uno puede particionar el intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$en${\displaystyle N}$intervalos equidistantes${\displaystyle [t_{j},t_{j+1})}$y aplicar el algoritmo de Higuchi a la serie temporal.${\displaystyle X(j)=f(t_{j})}$Esto da como resultado la dimensión fractal de Higuchi de la función${\displaystyle f}$Se demostró que en este caso el método de Higuchi proporciona una aproximación para la dimensión de conteo de cajas del gráfico de${\displaystyle f}$ya que sigue un enfoque geométrico (véase Liehr y Massopust 2020 ^{[ 5 ]} ).

Las aplicaciones a las funciones brownianas fraccionarias y a la función de Weierstrass revelan que la dimensión fractal de Higuchi puede estar cerca de la dimensión de la caja. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Por otro lado, el método puede ser inestable en el caso de que los datos${\displaystyle X(1),\dots ,X(N)}$son periódicos o si subconjuntos de ellos se encuentran en una línea horizontal (ver Liehr y Massopust 2020 ^{[ 5 ]} ).