Función de Hilbert-Samuel

En álgebra conmutativa, la función de Hilbert-Samuel , llamada así por David Hilbert y Pierre Samuel , ^[1] de un módulo finitamente generado distinto de cero sobre un anillo local noetheriano conmutativo y un ideal primario de es la función tal que, para todo , ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle I}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \chi_{M}^{I}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$

${\displaystyle \chi_{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)}$

donde denota la longitud sobre . Está relacionada con la función de Hilbert del módulo graduado asociado por la identidad ${\displaystyle \ell}$${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M)}$

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).}$

Para un valor suficientemente grande , coincide con una función polinómica de grado igual a , a menudo denominada polinomio de Hilbert-Samuel (o polinomio de Hilbert ). ^[2]${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \dim(\operatorname {gr} _{I}(M))}$

Para el anillo de series de potencias formales en dos variables tomadas como módulo sobre sí misma y el ideal generado por los monomios x ² e y ³ tenemos ${\displaystyle k[[x,y]]}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \chi (1)=6,\quad \chi (2)=18,\quad \chi (3)=36,\quad \chi (4)=60,{\text{ y en general }}\chi (n)=3n(n+1){\text{ para }}n\geq 0.}$^[2]

A diferencia de la función de Hilbert, la función de Hilbert-Samuel no es aditiva en una sucesión exacta. Sin embargo, todavía está razonablemente cerca de ser aditiva, como consecuencia del lema de Artin-Rees . Denotamos por el polinomio de Hilbert-Samuel; es decir, coincide con la función de Hilbert-Samuel para números enteros grandes. $Estilo de visualización P_{I,M}$

Prueba: tensando la secuencia exacta dada con y calculando el kernel obtenemos la secuencia exacta: $Estilo de visualización R/I^{n}}$

${\displaystyle 0\a (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\a M'/I^{n}M'\a M/I^{n}M\a M''/I^{n}M''\a 0,}$

Lo que nos da:

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')}$.

El tercer término de la derecha se puede estimar mediante Artin-Rees. De hecho, por el lema, para n grande y algún k ,

${\displaystyle I^{n}M\cap M'=I^{nk}((I^{k}M)\cap M')\subconjunto I^{nk}M'.}$

De este modo,

${\displaystyle \ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(nk-1)}$.

Esto proporciona el límite de grado deseado.

Si es un anillo local de dimensión de Krull , con ideal primario , su polinomio de Hilbert tiene término principal de la forma para algún entero . Este entero se llama multiplicidad del ideal . Cuando es el ideal máximo de , también se dice que es la multiplicidad del anillo local . ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\frac {e}{d!}}\cdot n^{d}}$${\estilo de visualización e}$${\estilo de visualización e}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=m}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización e}$${\estilo de visualización A}$

La multiplicidad de un punto de un esquema se define como la multiplicidad del anillo local correspondiente . ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

• j-multiplicidad