El decimoséptimo problema de Hilbert

El decimoséptimo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert que figuran en una célebre lista recopilada en 1900 por David Hilbert . Trata sobre la expresión de funciones racionales definidas positivas como sumas de cocientes de cuadrados . La pregunta original puede reformularse como:

• Dado un polinomio multivariable que solo toma valores no negativos sobre los números reales, ¿puede representarse como una suma de cuadrados de funciones racionales?

La pregunta de Hilbert puede restringirse a polinomios homogéneos de grado par, ya que un polinomio de grado impar cambia de signo, y la homogeneización de un polinomio solo toma valores no negativos si y solo si lo mismo es cierto para el polinomio.

En una traducción al inglés, el decimoséptimo problema de Hilbert se plantea de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

Una función o forma integral racional en cualquier número de variables con coeficientes reales, tal que se vuelve negativa para ningún valor real de dichas variables, se denomina definida. El sistema de todas las formas definidas es invariante con respecto a las operaciones de suma y multiplicación, pero el cociente de dos formas definidas —en caso de ser una función integral de las variables— también es una forma definida. El cuadrado de cualquier forma es, evidentemente, siempre una forma definida. Pero dado que, como he demostrado, ^{[ 2 ]} no toda forma definida puede ser compuesta mediante la suma de cuadrados de formas, surge la pregunta —que he respondido afirmativamente para las formas ternarias ^{[ 3 ]} — de si toda forma definida puede expresarse como un cociente de sumas de cuadrados de formas. Al mismo tiempo, es deseable, para ciertas cuestiones relativas a la posibilidad de ciertas construcciones geométricas, saber si los coeficientes de las formas que se utilizarán en la expresión pueden tomarse siempre del ámbito de racionalidad dado por los coeficientes de la forma representada.

La formulación de la pregunta tiene en cuenta que existen polinomios no negativos , por ejemplo ^{[ 4 ].}

${\displaystyle f(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2},}$

que no se puede representar como una suma de cuadrados de otros polinomios . En 1888, Hilbert demostró que todo polinomio homogéneo no negativo en n variables y grado 2d se puede representar como una suma de cuadrados de otros polinomios si y solo si (a) n = 2 o (b) 2d = 2 o (c) n = 3 y 2d = 4. ^{[ 2 ]} La demostración de Hilbert no presentó ningún contraejemplo explícito: solo en 1967 Motzkin construyó el primer contraejemplo explícito . ^{[ 5 ]} Además, si el polinomio tiene un grado 2d mayor que dos, hay muchos más polinomios no negativos que no se pueden expresar como sumas de cuadrados. ^{[ 6 ]}

La siguiente tabla resume en qué casos todo polinomio homogéneo no negativo (o un polinomio de grado par) puede representarse como una suma de cuadrados:

El caso particular de n = 2 ya fue resuelto por Hilbert en 1893. ^{[ 3 ]} El problema general fue resuelto afirmativamente, en 1927, por Emil Artin , ^{[ 7 ]} para funciones semidefinidas positivas sobre los números reales o, más generalmente, sobre cuerpos reales cerrados . Charles Delzell encontró una solución algorítmica en 1984. ^{[ 8 ]} Un resultado de Albrecht Pfister ^{[ 9 ]} muestra que una forma semidefinida positiva en n variables puede expresarse como una suma de 2 ⁿ cuadrados. ^{[ 10 ]}

Dubois demostró en 1967 que la respuesta es negativa en general para cuerpos ordenados . ^{[ 11 ]} En este caso, se puede decir que un polinomio positivo es una suma de cuadrados ponderados de funciones racionales con coeficientes positivos. ^{[ 12 ]} McKenna demostró en 1975 que todos los polinomios semidefinidos positivos con coeficientes en un cuerpo ordenado son sumas de cuadrados ponderados de funciones racionales con coeficientes positivos solo si el cuerpo es denso en su clausura real en el sentido de que cualquier intervalo con extremos en la clausura real contiene elementos del cuerpo original. ^{[ 13 ]}

Una generalización al caso de matrices (las matrices con entradas de funciones polinómicas que siempre son semidefinidas positivas pueden expresarse como suma de cuadrados de matrices simétricas con entradas de funciones racionales) fue dada por Gondard, Ribenboim ^{[ 14 ]} y Procesi, Schacher, ^{[ 15 ]} con una demostración elemental dada por Hillar y Nie. ^{[ 16 ]}

En análisis complejo y geometría compleja , Quillen demostró el análogo hermitiano, que requiere que los cuadrados sean normas cuadradas de polinomios holomorfos, para polinomios estrictamente positivos utilizando técnicas basadas en ecuaciones diferenciales parciales elípticas . ^{[ 17 ]} La representación de suma de cuadrados es única si existe, lo cual fue observado por primera vez por Putinar en el contexto de la optimización. ^{[ 18 ]}

Es una cuestión abierta cuál es el número más pequeño.

${\displaystyle v(n,d),}$

de tal manera que cualquier polinomio no negativo de n variables de grado d se puede escribir como suma de como máximo${\displaystyle v(n,d)}$funciones racionales cuadradas sobre los números reales. Una cota superior debida a Pfister en 1967 es: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle v(n,d)\leq 2^{n},}$

En la otra dirección, se puede derivar una cota inferior condicional de la teoría de la complejidad computacional . Una instancia de 3-SAT de n variables se puede realizar como un problema de positividad en un polinomio con n variables y d=4 . Esto demuestra que la prueba de positividad es NP-difícil . Más precisamente, suponiendo que la hipótesis del tiempo exponencial sea verdadera,${\displaystyle v(n,d)=2^{\Omega (n)}}$.

El resultado de Pfister falla en el caso hermitiano, es decir, no hay límite en el número de cuadrados requeridos, véase D'Angelo–Lebl. ^{[ 19 ]}

• Krivine-Stengle Positivstellensatz
• SOS polinomial
• polinomio positivo
• Optimización de la suma de cuadrados
• Convexidad SOS

• Pfister, Albrecht (1976). «El decimoséptimo problema de Hilbert y problemas relacionados sobre formas definidas». En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemáticas puras . Vol.  XXVIII.2. Sociedad Matemática Americana . págs. 483-489 . ISBN  0-8218-1428-1.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 . 
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados . Springer-Verlag . pp. 15–27 . ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 . 
• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .