El decimoctavo problema de Hilbert

El decimoctavo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas que figuran en una célebre lista compilada en 1900 por el matemático David Hilbert . Plantea tres preguntas distintas sobre el grupo espacial en${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones , teselado anisoédrico en el espacio euclidiano tridimensional y el empaquetamiento de esferas más denso en la conjetura de Kepler . ^{[ 1 ]} Respectivamente, estas preguntas fueron respondidas afirmativamente por Ludwig Bieberbach , Karl Reinhardt y Thomas Callister Hales .

La primera pregunta del problema de Hilbert plantea si solo hay un número finito de grupos espaciales esencialmente diferentes en${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de -dimensiones . Aquí, un grupo espacial o grupo cristalográfico es el grupo de simetría de un patrón repetitivo en el espacio, generalmente en tres dimensiones, con su operación de simetría como las transformaciones rígidas del patrón que lo dejan inalterado. ^{[ 2 ]}

Esta pregunta fue respondida afirmativamente por Ludwig Bieberbach . ^{[ 2 ]} Denominado grupo de Bieberbach, Bieberbach demostró que el subgrupo de traducciones de cualquier grupo de este tipo contiene${\displaystyle n}$traslaciones linealmente independientes, y es un subgrupo abeliano libre de índice finito, y también es el único subgrupo abeliano normal maximal. Bieberbach también demostró que, en cualquier dimensión${\displaystyle n}$, solo hay un número finito de posibilidades para la clase de isomorfismo del grupo subyacente de un grupo espacial, y la acción del grupo sobre el espacio euclidiano es además única salvo conjugación por transformaciones afines . ^{[ 3 ]}

Dos vistas del poliedro tridimensional (una tumbado, la otra de lado) según la interpretación del folleto de Reinhardt de 1928.

Plano bidimensional mediante la tesela parcial anisoédrica de Heesch

La segunda pregunta del problema de Hilbert plantea si existe un poliedro en el espacio euclidiano tridimensional que recubre , pero no la región fundamental de ningún grupo espacial. En otras palabras, el segundo problema pregunta qué recubre, pero no admite un recubrimiento isoédrico ( transitivo ). Tales recubrimientos no son equivalentes bajo ninguna simetría del recubrimiento, que ahora se conocen como anisoédricos . Al plantear el problema en tres dimensiones, Hilbert probablemente asumió que no existe tal recubrimiento en dos dimensiones; esta suposición resultó ser incorrecta posteriormente. ^{[ 4 ]}

Karl Reinhardt encontró un poliedro tridimensional de este tipo en su folleto de 1928 titulado Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope . ^{[ 5 ]} El primer ejemplo en dos dimensiones fue encontrado por Heinrich Heesch en 1935. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El problema de Einstein , donde "einstein" significa "una piedra" en un juego de palabras alemán , es la extensión natural de la segunda pregunta del decimoctavo problema de Hilbert. El problema busca una figura que pueda recubrir el espacio, pero no con un grupo cíclico infinito de simetrías. ^{[ 8 ]} De forma equivalente, busca la existencia de un único prototipo que forme un conjunto aperiódico , una figura que pueda teselar el espacio, pero solo de forma no periódica. ^{[ 2 ]} Fue resuelto en 2024 por David Smith y sus colegas. ^{[ 9 ]}

La tercera pregunta del problema de Hilbert pide el empaquetamiento más denso de esferas o de otras formas específicas. Aunque incluye expresamente formas distintas de las esferas, generalmente se considera equivalente a la conjetura de Kepler . La conjetura recibió su nombre del matemático alemán del siglo XVII Johannes Kepler en su folleto titulado Strena, seu, de Nieu Sexangula . Afirma que el empaquetamiento de esferas de igual volumen tiene una densidad mayor que el empaquetamiento de la disposición cúbica centrada en las caras . Dicha densidad es ^{[ 10 ].}$${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0,74048.}$$

En 1998, el matemático estadounidense Thomas Callister Hales presentó una demostración asistida por computadora de la conjetura de Kepler. Esta demuestra que la forma más eficiente de empaquetar esferas en términos de espacio es en forma de pirámide. ^{[ 11 ]}