Hilbert's eighteenth problem

Hilbert's eighteenth problem is one of the 23 problems set out in a celebrated list compiled in 1900 by mathematician David Hilbert. It asks three separate questions on the space group in ${\displaystyle n}$-dimensional Euclidean space, anisohedral tiling in three-dimensional Euclidean space, and the densest sphere packing in Kepler conjecture.^[1] Respectively, these questions were answered affirmatively by Ludwig Bieberbach, Karl Reinhardt, and Thomas Callister Hales.

The first question in Hilbert's problem asks whether there are only finitely many essentially different space groups in ${\displaystyle n}$-dimensional Euclidean space. Here, a space group or crystallographic group is the symmetry group of a repeating pattern in space, usually in three dimensions, with its symmetry operation as the rigid transformations of the pattern that leave it unchanged.^[2]

This question was answered affirmatively by Ludwig Bieberbach.^[2] Named as Bieberbach group, Bieberbach proved that the subgroup of translations of any such group contains ${\displaystyle n}$ linearly independent translations, and is a free abelian subgroup of finite index, and is also the unique maximal normal abelian subgroup. Bieberbach also showed that, in any dimension ${\displaystyle n}$, there are only a finite number of possibilities for the isomorphism class of the underlying group of a space group, and the action of the group on Euclidean space is moreover unique up to conjugation by affine transformations.^[3]

Two views of the three-dimensional polyhedron (one lying flat, the other on the side) as interpreted from Reinhardt's 1928 booklet

Two-dimensional plane by Heesch's anisohedral partial tile

La segunda pregunta del problema de Hilbert plantea si existe un poliedro en el espacio euclidiano tridimensional que recubre , pero no la región fundamental de ningún grupo espacial. En otras palabras, el segundo problema pregunta qué recubre, pero no admite un recubrimiento isoédrico ( transitivo ). Tales recubrimientos no son equivalentes bajo ninguna simetría del recubrimiento, que ahora se conocen como anisoédricos . Al plantear el problema en tres dimensiones, Hilbert probablemente asumió que no existe tal recubrimiento en dos dimensiones; esta suposición resultó ser incorrecta posteriormente. ^{[ 4 ]}

Karl Reinhardt encontró un poliedro tridimensional de este tipo en su folleto de 1928 titulado Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope . ^{[ 5 ]} El primer ejemplo en dos dimensiones fue encontrado por Heinrich Heesch en 1935. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El problema de Einstein , donde "einstein" significa "una piedra" en un juego de palabras alemán , es la extensión natural de la segunda pregunta del decimoctavo problema de Hilbert. El problema busca una figura que pueda recubrir el espacio, pero no con un grupo cíclico infinito de simetrías. ^{[ 8 ]} De forma equivalente, busca la existencia de un único prototipo que forme un conjunto aperiódico , una figura que pueda teselar el espacio, pero solo de forma no periódica. ^{[ 2 ]} Fue resuelto en 2024 por David Smith y sus colegas. ^{[ 9 ]}

La tercera pregunta del problema de Hilbert pide el empaquetamiento más denso de esferas o de otras formas específicas. Aunque incluye expresamente formas distintas de las esferas, generalmente se considera equivalente a la conjetura de Kepler . La conjetura recibió su nombre del matemático alemán del siglo XVII Johannes Kepler en su folleto titulado Strena, seu, de Nieu Sexangula . Afirma que el empaquetamiento de esferas de igual volumen tiene una densidad mayor que el empaquetamiento de la disposición cúbica centrada en las caras . Dicha densidad es ^{[ 10 ].}$${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0,74048.}$$

En 1998, el matemático estadounidense Thomas Callister Hales presentó una demostración asistida por computadora de la conjetura de Kepler. Esta demuestra que la forma más eficiente de empaquetar esferas en términos de espacio es en forma de pirámide. ^{[ 11 ]}