El undécimo problema de Hilbert

El undécimo problema de Hilbert es uno de los problemas matemáticos abiertos que David Hilbert planteó en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Como una ampliación de la teoría de las formas cuadráticas , enunció el problema de la siguiente manera:

Nuestro conocimiento actual de la teoría de los cuerpos numéricos cuadráticos nos permite abordar con éxito la teoría de las formas cuadráticas con cualquier número de variables y con cualquier coeficiente numérico algebraico. Esto conduce, en particular, al interesante problema de resolver una ecuación cuadrática dada con coeficientes numéricos algebraicos en cualquier número de variables mediante números enteros o fraccionarios pertenecientes al ámbito algebraico de la racionalidad determinada por los coeficientes. ^{[ 1 ]}

Como afirmó Kaplansky, «El undécimo problema consiste simplemente en clasificar las formas cuadráticas sobre cuerpos numéricos algebraicos ». Esto es precisamente lo que Minkowski hizo para las formas cuadráticas con coeficientes fraccionarios. Una forma cuadrática (no una ecuación cuadrática) es cualquier polinomio en el que cada término tiene variables ^que aparecen exactamente dos veces. La forma general de dicha ecuación es ax² + bxy + cy² . (Todos ^los coeficientes deben ser números enteros).

Se dice que una forma cuadrática dada representa un número natural si al sustituir números específicos por las variables se obtiene dicho número. Gauss y quienes le siguieron descubrieron que si cambiamos las variables de ciertas maneras, la nueva forma cuadrática representa los mismos números naturales que la anterior, pero de una forma diferente y más fácil de interpretar. Utilizó esta teoría de formas cuadráticas equivalentes para demostrar resultados de la teoría de números. Lagrange, por ejemplo, había demostrado que cualquier número natural puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados. Gauss demostró esto utilizando su teoría de relaciones de equivalencia ^{[ 2 ]} al mostrar que la forma cuadrática${\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$representa todos los números naturales. Como se mencionó anteriormente, Minkowski creó y demostró una teoría similar para formas cuadráticas con fracciones como coeficientes. El undécimo problema de Hilbert solicita una teoría similar. Es decir, un modo de clasificación que nos permita determinar si una forma es equivalente a otra, pero en el caso de que los coeficientes puedan ser números algebraicos . Helmut Hasse logró esto en una demostración utilizando su principio local-global y el hecho de que la teoría es relativamente simple para sistemas p -ádicos en octubre de 1920. Publicó su trabajo en 1923 y 1924. Véase Principio de Hasse , Teorema de Hasse-Minkowski . El principio local-global afirma que un resultado general sobre un número racional, o incluso sobre todos los números racionales, a menudo puede establecerse verificando que el resultado se cumple para cada uno de los sistemas numéricos p -ádicos.

También existen trabajos más recientes sobre el undécimo problema de Hilbert que estudian cuándo un número entero puede representarse mediante una forma cuadrática. Un ejemplo es el trabajo de Cogdell, Piatetski-Shapiro y Sarnak . ^{[ 3 ]}

• Los problemas de Hilbert

• Yandell, Benjamin H. La clase de honores: Los problemas de Hilbert y sus solucionadores. Natik: K Peters. Impreso.