El decimotercer problema de Hilbert

El decimotercer problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert establecidos en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . Implica probar si existe una solución para todas las ecuaciones de séptimo grado utilizando funciones algebraicas (variante: continuas ) de dos argumentos . Fue presentado por primera vez en el contexto de la nomografía y, en particular, de la "construcción nomográfica", un proceso mediante el cual se construye una función de varias variables utilizando funciones de dos variables. La variante para funciones continuas fue resuelta afirmativamente en 1957 por Vladimir Arnold cuando demostró el teorema de representación de Kolmogorov-Arnold , pero la variante para funciones algebraicas sigue sin resolverse.

Utilizando los métodos iniciados por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1683), Erland Samuel Bring (1786) y George Jerrard (1834), William Rowan Hamilton demostró en 1836 que toda ecuación de séptimo grado puede reducirse mediante radicales a la forma . ${\displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}$

Respecto de esta ecuación, Hilbert se preguntó si su solución, x , considerada como función de las tres variables a , b y c , puede expresarse como la composición de un número finito de funciones de dos variables.

Hilbert originalmente planteó su problema para funciones algebraicas (Hilbert 1927, "...Existenz von algebraischen Funktionen...", es decir, "...existencia de funciones algebraicas..."; véase también Abhyankar 1997, Vitushkin 2004). Sin embargo, Hilbert también preguntó en una versión posterior de este problema si existe una solución en la clase de funciones continuas .

Una generalización de la segunda variante ("continua") del problema es la siguiente pregunta: ¿puede cada función continua de tres variables ser expresada como una composición de un número finito de funciones continuas de dos variables? La respuesta afirmativa a esta pregunta general fue dada en 1957 por Vladimir Arnold , que entonces tenía sólo diecinueve años y era estudiante de Andrey Kolmogorov . Kolmogorov había demostrado el año anterior que cualquier función de varias variables puede ser construida con un número finito de funciones de tres variables. Arnold luego amplió este trabajo para mostrar que, de hecho, sólo se requerían funciones de dos variables, respondiendo así a la pregunta de Hilbert cuando se planteó para la clase de funciones continuas.

Posteriormente, Arnold volvió a la versión algebraica del problema, junto con Goro Shimura (Arnold y Shimura 1976).

• Shreeram Shankar Abhyankar , "El decimotercer problema de Hilbert", Algèbre no conmutativo, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr. , 2, Soc. Matemáticas. Francia, París, 1997. Señor 1601178
• VI Arnold y Goro Shimura , Superposición de funciones algebraicas (1976), en Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert , Volumen 1, Actas de simposios sobre matemáticas puras 28 (1976), págs. 45-46.
• Hilbert, David (1927). "Über die Gleichung neunten Grados". Annalen Matemáticas . 97 (1): 243–250. doi :10.1007/BF01447867. JFM  52.0103.02. SEÑOR  1512361.
• Lorentz, George G. (1966). Aproximación de funciones . Nueva York, Chicago, Toronto: Holt, Rinehart y Winston . Capítulo 11. MR  0213785.
• Vitushkin, Anatoli Georgievich (2004). "13-я проблема Гильберта и смежные вопросы" (PDF) . Uspekhi Matematicheskikh Nauk . 59 (1): 11 24. doi :10.4213/rm698.Traducción al español en: "Sobre el decimotercer problema de Hilbert y cuestiones relacionadas". Russian Mathematical Surveys . 59 (1): 11–25. 2004. doi :10.1070/RM2004v059n01ABEH000698. MR  2068840.
• Farb, Benson ; Wolfson, Jesse (2020). "Grado de resolución, el problema 13 de Hilbert y la geometría". L'Enseignement mathématique . 65 (3): 303–376. arXiv : 1803.04063 . doi :10.4171/LEM/65-3/4-2. ISSN  0013-8584. MR  4113045. S2CID  14000951.

• Ecuación séptica

• Ornes, Stephen (14 de enero de 2021). «Los matemáticos resucitan el decimotercer problema de Hilbert». Revista Quanta .