El vigésimo tercer problema de Hilbert

El problema número veintitrés de Hilbert es el último de los problemas de Hilbert incluidos en una célebre lista recopilada en 1900 por David Hilbert . A diferencia de los otros veintidós problemas de Hilbert, el número veintitrés no es tanto un "problema" específico como un estímulo para el desarrollo del cálculo de variaciones . Su enunciado resume el estado del arte (en 1900) de la teoría del cálculo de variaciones, con algunos comentarios introductorios que lamentan la falta de trabajo realizado en esta teoría a mediados y finales del siglo XIX.

El planteamiento del problema comienza con el siguiente párrafo:

Hasta ahora, he mencionado problemas lo más específicos y particulares posible... Sin embargo, quisiera concluir con un problema general, concretamente con la mención de una rama de las matemáticas mencionada repetidamente en esta conferencia —que, a pesar del considerable avance que Weierstrass le ha dado recientemente, no recibe el reconocimiento general que, en mi opinión, merece—, me refiero al cálculo de variaciones. ^{[ 1 ]}

El cálculo de variaciones es una rama del análisis matemático que se ocupa de los funcionales que maximizan o minimizan funciones , las cuales son funciones que asignan valores a un conjunto de funciones reales . Los funcionales suelen expresarse como integrales definidas que involucran funciones y sus derivadas . El interés radica en las funciones extremales , aquellas que hacen que el funcional alcance un valor máximo o mínimo , o en las funciones estacionarias , es decir, aquellas en las que la tasa de cambio del funcional es cero.

Tras el planteamiento del problema, David Hilbert , Emmy Noether , Leonida Tonelli , Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, entre otros, realizaron importantes contribuciones al cálculo de variaciones. ^{[ 2 ]} Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones en lo que ahora se denomina teoría de Morse . ^{[ 3 ]} Lev Pontryagin , Ralph Rockafellar y FH Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas para el cálculo de variaciones en la teoría del control óptimo . ^{[ 3 ]} La programación dinámica de Richard Bellman es una alternativa al cálculo de variaciones. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

• Stampacchia, Guido (1976). «El vigésimo tercer problema de Hilbert: extensión del cálculo de variaciones». En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemáticas puras . Vol.  XXVIII.2. Sociedad Matemática Americana . pp. 611–628 . ISBN  0-8218-1428-1.