función de Hilbert-Kunz

En álgebra , la función de Hilbert-Kunz de un anillo local ( R , m ) de característica prima p es la función

${\displaystyle f(q)=\operatorname {length} _{R}(R/m^{[q]})}$

donde q es una potencia de p y m ^{[ q ]} es el ideal generado por las potencias q -ésimas de los elementos del ideal maximal m . ^{[ 1 ]}

La noción fue introducida por Ernst Kunz , quien la utilizó para caracterizar un anillo regular como un anillo noetheriano en el que el morfismo de Frobenius es plano . Si d es la dimensión del anillo local, Monsky demostró que f(q)/(q^d) es c+O(1/q) para alguna constante real c. Esta constante, la "multiplicidad de Hilbert-Kunz", es mayor o igual que 1. Watanabe y Yoshida reforzaron algunos de los resultados de Kunz, demostrando que, en el caso no mixto, el anillo es regular precisamente cuando c=1.

Las funciones y multiplicidades de Hilbert-Kunz se han estudiado por sí mismas. Brenner y Trivedi han tratado anillos locales derivados de los anillos de coordenadas homogéneas de curvas proyectivas suaves, utilizando técnicas de geometría algebraica . Han, Monsky y Teixeira han tratado hipersuperficies diagonales y diversas hipersuperficies relacionadas . Pero no se conoce ninguna técnica para determinar la función de Hilbert-Kunz o c en general. En particular, la cuestión de si c es siempre racional no se resolvió hasta hace poco (por Brenner; no tiene por qué serlo, e incluso puede ser trascendental). Hochster y Huneke relacionaron las multiplicidades de Hilbert-Kunz con el " cierre estricto " y Brenner y Monsky utilizaron funciones de Hilbert-Kunz para demostrar que la localización no tiene por qué preservar el cierre estricto. La cuestión de cómo se comporta c cuando la característica tiende a infinito (por ejemplo, para una hipersuperficie definida por un polinomio con coeficientes enteros ) también ha recibido atención; una vez más, abundan las preguntas abiertas.

Una descripción general completa se puede encontrar en el artículo de Craig Huneke "Hilbert-Kunz multiplicities and the F-signature" arXiv:1409.0467. Este artículo también se encuentra en las páginas 485-525 del volumen de Springer "Commutative Algebra: Expository Papers Dedicated to David Eisenbud on the Occasion of His 65th Birthday", editado por Irena Peeva .

• E. Kunz, "Sobre anillos noetherianos de característica p," Am. J. Math, 98, (1976), 999–1013. 1
• Edward Miller, Lance; Swanson, Irena (2012). "Funciones de Hilbert-Kunz de anillos determinantes de 2 x 2". arXiv : 1206.1015 [ math.AC ].