operador integral de Hilbert-Schmidt

En matemáticas , un operador integral de Hilbert-Schmidt es un tipo de transformada integral . Específicamente, dado un dominio Ω en R ⁿ , cualquier k  : Ω × Ω → C      tal que

${\displaystyle \int _{\Omega }\int _{\Omega }|k(x,y)|^{2}\,dx\,dy<\infty ,}$

se denomina núcleo de Hilbert-Schmidt . El operador integral asociado T  : L ² ( Ω ) → L ² ( Ω )    viene dado por

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,dy}$

se denomina operador integral de Hilbert-Schmidt . ^{[ 1 ] [ 2 ]} T es un operador de Hilbert-Schmidt con norma de Hilbert-Schmidt

${\displaystyle \Vert T\Vert _{\mathrm {HS} }=\Vert k\Vert _{L^{2}}.}$

Los operadores integrales de Hilbert-Schmidt son continuos y compactos . ^{[ 3 ]}

El concepto de operador integral de Hilbert-Schmidt puede extenderse a cualquier espacio de Hausdorff localmente compacto X equipado con una medida de Borel positiva . Si L ² ( X ) es separable y k pertenece a L ² ( X × X ) , entonces el operador T : L ² ( X ) → L ² ( X ) definido por    

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{X}k(x,y)f(y)\,dy}$

es compacto . Si

${\displaystyle k(x,y)={\overline {k(y,x)}},}$

Entonces T también es autoadjunto y, por lo tanto, se aplica el teorema espectral . Esta es una de las construcciones fundamentales de tales operadores, que a menudo reduce problemas sobre espacios vectoriales de dimensión infinita a cuestiones sobre autoespacios de dimensión finita bien comprendidos. ^{[ 4 ]}

• operador de Hilbert-Schmidt

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (8 de enero de 2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York, Berlín, Heidelberg: Springer Science & Business Media. ISBN 0-387-00444-0.

• Bump, Daniel (1998). Formas y representaciones automórficas . Cambridge University Press. ISBN 0-521-65818-7.
• Simon, B. (1978). "Una visión general de la teoría rigurosa de la dispersión" . S2CID 16913591 .