Teorema de irreducibilidad de Hilbert

En teoría de números , el teorema de irreducibilidad de Hilbert , concebido por David Hilbert en 1892, establece que todo conjunto finito de polinomios irreducibles con un número finito de variables y coeficientes racionales admite una especialización común de un subconjunto propio de las variables a números racionales, de manera que todos los polinomios sigan siendo irreducibles. Este teorema es uno de los más importantes en teoría de números.

Teorema de irreducibilidad de Hilbert .

${\displaystyle f_{1}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

sean polinomios irreducibles en el anillo

${\displaystyle \mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r})[Y_{1},\ldots ,Y_{s}].}$

Entonces existe una r -tupla de números racionales ( a ₁ , ..., a _r ) tal que

${\displaystyle f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})}$

son irreducibles en el anillo

${\displaystyle \mathbb {Q} [Y_{1},\ldots ,Y_{s}].}$

Observaciones.

• Del teorema se deduce que existen infinitas r -tuplas. De hecho, el conjunto de todas las especializaciones irreducibles, llamado conjunto de Hilbert, es grande en muchos sentidos. Por ejemplo, este conjunto es denso en el sentido de Zariski.${\displaystyle \mathbb {Q} ^{r}.}$
• Siempre hay (infinitas) especializaciones enteras, es decir, la afirmación del teorema se cumple incluso si exigimos que ( a ₁ , ..., a _r ) sean enteros.
• Hay muchos cuerpos hilbertianos , es decir, cuerpos que satisfacen el teorema de irreducibilidad de Hilbert. Por ejemplo, los cuerpos numéricos son hilbertianos. ^{[ 1 ]}
• La propiedad de especialización irreducible enunciada en el teorema es la más general. Hay muchas reducciones, por ejemplo, basta con tomar${\displaystyle n=r=s=1}$en la definición. Un resultado de Bary-Soroker muestra que para que un cuerpo K sea hilbertiano basta con considerar el caso de${\displaystyle n=r=s=1}$y${\displaystyle f=f_{1}}$absolutamente irreducible , es decir, irreducible en el anillo K ^alg [ X , Y ], donde K ^alg es la clausura algebraica de K .

El teorema de irreducibilidad de Hilbert tiene numerosas aplicaciones en teoría de números y álgebra . Por ejemplo:

• El problema inverso de Galois , la motivación original de Hilbert. El teorema implica casi inmediatamente que si un grupo finito G puede realizarse como el grupo de Galois de una extensión de Galois N de

${\displaystyle E=\mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r}),}$

Entonces se puede especializar a una extensión de Galois N ₀ de los números racionales con G como su grupo de Galois. ^{[ 2 ]} (Para ver esto, elija un polinomio irreducible mónico f ( X ₁ , ..., X _n , Y ) cuya raíz genere N sobre E . Si f ( a ₁ , ..., a _n , Y ) es irreducible para algún a _i , entonces una raíz de este generará el N ₀ afirmado .)

• Construcción de curvas elípticas de gran rango. ^{[ 2 ]}

• El teorema de irreducibilidad de Hilbert se utiliza como un paso en la demostración del último teorema de Fermat realizada por Andrew Wiles .

• Si un polinomio${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z} [x]}$es un cuadrado perfecto para todos los valores enteros grandes de x , entonces g(x) es el cuadrado de un polinomio en${\displaystyle \mathbb {Z} [x].}$Esto se deduce del teorema de irreducibilidad de Hilbert con${\displaystyle n=r=s=1}$y

${\displaystyle f_{1}(X,Y)=Y^{2}-g(X).}$

(Existen demostraciones más elementales). El mismo resultado es válido cuando se reemplaza "cuadrado" por "cubo", "cuarta potencia", etc.

Se ha reformulado y generalizado ampliamente, utilizando el lenguaje de la geometría algebraica . Véase conjunto delgado (Serre) .

• D. Hilbert, "Ueber die Irreducibilität ganzer racionaler Functionen mit ganzzahligen Coficienten", J. reine angew. Matemáticas. 110 (1892), 104–129, doi 10.1515/crll.1892.110.104 .

• Lang, Serge (1997). Panorama general de la geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 . 
• JP Serre , Conferencias sobre el teorema de Mordell-Weil , Vieweg, 1989.
• MD Fried y M. Jarden , Aritmética de campos , Springer-Verlag, Berlín, 2005.
• H. Völklein, Grupos como grupos de Galois , Cambridge University Press, 1996.
• G. Malle y BH Matzat, Teoría inversa de Galois , Springer, 1999.