El programa de Hilbert

En matemáticas , el programa de Hilbert , formulado por el matemático alemán David Hilbert a principios de la década de 1920, ^{[ 1 ]} fue una solución propuesta a la crisis fundacional de las matemáticas , cuando los primeros intentos de aclarar los fundamentos de las matemáticas se encontraron plagados de paradojas e inconsistencias. Como solución, Hilbert propuso fundamentar todas las teorías existentes en un conjunto finito y completo de axiomas , y proporcionar una prueba de que estos axiomas eran consistentes . Hilbert propuso que la consistencia de sistemas más complejos, como el análisis real , podría probarse en términos de sistemas más simples. En última instancia, la consistencia de todas las matemáticas podría reducirse a la aritmética básica .

Los teoremas de incompletitud de Gödel , publicados en 1931, demostraron que el programa de Hilbert era inalcanzable para áreas clave de las matemáticas. En su primer teorema, Gödel demostró que cualquier sistema consistente con un conjunto computable de axiomas capaz de expresar aritmética nunca puede ser completo: es posible construir una proposición que se puede demostrar que es verdadera, pero que no se puede derivar de las reglas formales del sistema. En su segundo teorema, demostró que tal sistema no podía probar su propia consistencia, por lo que ciertamente no puede usarse para probar con certeza la consistencia de nada más fuerte. Esto refutó la suposición de Hilbert de que un sistema finitista podía usarse para probar su propia consistencia y, por lo tanto, no podía probar todo lo demás.

El objetivo principal del programa de Hilbert era proporcionar fundamentos sólidos para todas las matemáticas. En particular, esto debería incluir:

• Una formulación de todas las matemáticas; en otras palabras, todas las afirmaciones matemáticas deben escribirse en un lenguaje formal preciso y manipularse de acuerdo con reglas bien definidas.
• Completitud : una prueba de que todas las afirmaciones matemáticas verdaderas pueden probarse dentro del formalismo.
• Consistencia: una prueba de que no se puede obtener ninguna contradicción en el formalismo matemático. Esta prueba de consistencia debería utilizar preferiblemente solo razonamiento "finitista" sobre objetos matemáticos finitos.
• Conservación: una prueba de que cualquier resultado sobre "objetos reales" obtenido mediante el razonamiento sobre "objetos ideales" (como conjuntos no numerables ) puede probarse sin utilizar objetos ideales.
• Decidibilidad : debe existir un algoritmo para decidir la veracidad o falsedad de cualquier enunciado matemático.

Kurt Gödel demostró que la mayoría de los objetivos del programa de Hilbert eran imposibles de alcanzar, al menos si se interpretaban de la manera más obvia. El segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que cualquier teoría consistente lo suficientemente potente como para codificar la suma y la multiplicación de enteros no puede probar su propia consistencia. Esto supone un desafío para el programa de Hilbert.

• No es posible formalizar todas las afirmaciones matemáticas verdaderas dentro de un sistema formal, ya que cualquier intento de formalismo de este tipo omitirá algunas afirmaciones matemáticas verdaderas. No existe una extensión completa y consistente, ni siquiera de la aritmética de Peano, basada en un conjunto de axiomas computacionalmente enumerables .
• Una teoría como la aritmética de Peano ni siquiera puede demostrar su propia consistencia, por lo que un subconjunto "finitista" restringido de la misma ciertamente no puede demostrar la consistencia de teorías más poderosas como la teoría de conjuntos.
• No existe ningún algoritmo para determinar la veracidad (o demostrabilidad) de las afirmaciones en ninguna extensión consistente de la aritmética de Peano. Estrictamente hablando, esta solución negativa al problema de decisión apareció unos años después del teorema de Gödel, porque en aquel momento la noción de algoritmo no estaba definida con precisión.

Muchas líneas de investigación actuales en lógica matemática , como la teoría de la demostración y las matemáticas inversas , pueden considerarse continuaciones naturales del programa original de Hilbert. Gran parte de él puede rescatarse modificando ligeramente sus objetivos (Zach 2005), y con las siguientes modificaciones se logró completarlo en cierta medida:

• Si bien no es posible formalizar todas las ramas de las matemáticas, sí es posible formalizar prácticamente todas las que se utilizan. En particular, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , combinada con la lógica de primer orden , proporciona un formalismo satisfactorio y generalmente aceptado para casi todas las ramas actuales de las matemáticas.
• Aunque no es posible demostrar la completitud para sistemas que pueden expresar al menos la aritmética de Peano (o, más generalmente, que tienen un conjunto computable de axiomas), sí es posible demostrar formas de completitud para muchos otros sistemas interesantes. Un ejemplo de una teoría no trivial para la cual se ha demostrado la completitud es la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de característica dada .
• La cuestión de si existen pruebas de consistencia finita de teorías fuertes es difícil de responder, principalmente porque no existe una definición generalmente aceptada de "prueba finita". La mayoría de los matemáticos en teoría de la demostración parecen considerar que las matemáticas finitas están contenidas en la aritmética de Peano, y en este caso no es posible dar pruebas finitas de teorías razonablemente fuertes. Por otro lado, el propio Gödel sugirió la posibilidad de dar pruebas de consistencia finita utilizando métodos finitos que no pueden formalizarse en la aritmética de Peano, por lo que parece haber tenido una visión más liberal de qué métodos finitos podrían permitirse. Unos años más tarde, Gentzen dio una prueba de consistencia para la aritmética de Peano. La única parte de esta prueba que no era claramente finita era una cierta inducción transfinita hasta el ordinal ε ₀ . Si esta inducción transfinita se acepta como un método finito, entonces se puede afirmar que existe una prueba finita de la consistencia de la aritmética de Peano. Gaisi Takeuti y otros autores han demostrado la consistencia de subconjuntos más potentes de la aritmética de segundo orden , y cabe debatir nuevamente sobre el grado de finitud o constructividad de dichas demostraciones. (Las teorías cuya consistencia se ha demostrado mediante estos métodos son bastante sólidas e incluyen la mayor parte de las matemáticas "ordinarias").
• Aunque no existe un algoritmo para determinar la veracidad de las proposiciones en la aritmética de Peano, existen numerosas teorías interesantes y no triviales para las que se han encontrado algoritmos de este tipo. Por ejemplo, Tarski halló un algoritmo capaz de determinar la veracidad de cualquier proposición en geometría analítica (más precisamente, demostró que la teoría de los cuerpos reales cerrados es decidible). Dado el axioma de Cantor-Dedekind , este algoritmo puede considerarse un algoritmo para determinar la veracidad de cualquier proposición en geometría euclidiana . Esto es significativo, ya que pocos considerarían la geometría euclidiana una teoría trivial.

• Grundlagen der Mathematik
• Crisis fundamental de las matemáticas

• G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493–565. Traducido como 'La consistencia de la aritmética', en The Collected Papers of Gerhard Gentzen , ME Szabo (ed.), 1969.
• D. Hilbert. «Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre». Mathematische Annalen 104:485–94. Traducido por W. Ewald como «The Grounding of Elementary Number Theory», pp.  266–273 en Mancosu (ed., 1998) From Brouwer to Hilbert: The debate on the foundations of mathematics in the 1920s , Oxford University Press. Nueva York.
• SG Simpson , 1988. Realizaciones parciales del programa de Hilbert (pdf) . Journal of Symbolic Logic 53:349–363.
• R. Zach , 2006. El programa de Hilbert: antes y ahora. Philosophy of Logic 5:411–447, arXiv:math/0508572 [math.LO].

• Richard Zach. "El programa de Hilbert" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .