Teorema de la bisagra

En geometría , el teorema de la bisagra (a veces llamado teorema de la boca abierta ) establece que si dos lados de un triángulo son congruentes con dos lados de otro triángulo, y el ángulo comprendido del primero es mayor que el ángulo comprendido del segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo es más largo que el tercer lado del segundo triángulo. ^{[ 1 ]} Este teorema se presenta como la Proposición 24 en el Libro I de los Elementos de Euclides .

El teorema es un corolario inmediato de la ley de los cosenos . ^{[ 2 ]} Para dos triángulos con lados${\displaystyle \{a,b,c\}}$y${\displaystyle \{a,b,{\hat {c}}\}}$con ángulos${\displaystyle \gamma }$y${\displaystyle {\sombrero {\gamma }}}$frente a los respectivos lados${\displaystyle c}$y${\displaystyle {\hat {c}}}$La ley de los cosenos establece:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\{\hat {c}}^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\hat {\gamma }}.\end{aligned}}}$$

La función coseno es monótonamente decreciente para ángulos entre${\displaystyle 0}$y${\displaystyle \pi }$radianes , así que${\displaystyle {\sombrero {\gamma }}>\gamma }$implica${\displaystyle {\hat {c}}>c}$(y viceversa también).

El teorema de la bisagra se cumple en espacios euclidianos y, de forma más general, en formas espaciales simplemente conexas de curvatura no positiva .

También puede extenderse desde la geometría euclidiana plana a espacios euclidianos de dimensiones superiores (por ejemplo, a tetraedros y, más generalmente, a símplices ), como se ha hecho para tetraedros ortocéntricos (es decir, tetraedros en los que las alturas son concurrentes) ^{[ 2 ]} y, más generalmente, para símplices ortocéntricos (es decir, símplices en los que las alturas son concurrentes). ^{[ 3 ]}

El recíproco del teorema de la bisagra también es cierto: si dos lados de un triángulo son congruentes con dos lados de otro triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo comprendido del primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido del segundo triángulo.

En algunos libros de texto, el teorema y su recíproco se escriben como el Teorema de la Desigualdad LAL y el Teorema de la Desigualdad LLL , respectivamente.