Coincidencia de histogramas

En el procesamiento de imágenes , la coincidencia de histogramas o especificación de histogramas es la transformación de una imagen de manera que su histograma coincida con un histograma especificado. ^{[ 1 ]} El conocido método de ecualización de histogramas es un caso especial en el que el histograma especificado tiene una distribución uniforme . ^{[ 2 ]}

Es posible utilizar la coincidencia de histogramas para equilibrar las respuestas del detector como técnica de calibración relativa del mismo. Se puede utilizar para normalizar dos imágenes, cuando estas se adquirieron con la misma iluminación local (como sombras) en la misma ubicación, pero con diferentes sensores, condiciones atmosféricas o iluminación global .

Consideremos una imagen de entrada en escala de grises X. Tiene una función de densidad de probabilidad p _r (r), donde r es un valor en escala de grises y p _r (r) es la probabilidad de ese valor. Esta probabilidad se puede calcular fácilmente a partir del histograma de la imagen mediante

${\textstyle p_{r}(r_{j})={n_{j} \over n}}$

donde n _j es la frecuencia del valor de escala de grises r _j , y n es el número total de píxeles en la imagen.

Ahora consideremos una función de densidad de probabilidad de salida deseada p _z (z). Se necesita una transformación de p _r (r) para convertirla en p _z (z).

Cada pdf (función de densidad de probabilidad) se puede mapear fácilmente a su función de distribución acumulativa mediante

${\displaystyle S(r_{k})=\sum _{j=0}^{k}p_{r}(r_{j}),\qquad k=0,1,2,3,\ldots ,L-1}$

${\displaystyle G(z_{k})=\sum _{j=0}^{k}p_{z}(z_{j}),\qquad k=0,1,2,3,\ldots,L-1}$

donde L es el número total posible de niveles de gris (256 para una imagen estándar).

La idea es asignar a cada valor r en X el valor z que tenga la misma probabilidad en la función de densidad de probabilidad deseada. Es decir, S ( r _j ) = G ( z _i ) o z = G ⁻¹ ( S ( r )). ^{[ 3 ]}

La siguiente imagen en escala de grises de entrada debe modificarse para que coincida con el histograma de referencia.

La imagen de entrada tiene el siguiente histograma:

Se comparará con este histograma de referencia para resaltar los niveles de gris más bajos.

Tras la coincidencia, la imagen de salida tiene el siguiente histograma:

Y la nueva imagen se ve así:

Dadas dos imágenes, la de referencia y la de destino, calculamos sus histogramas. A continuación, calculamos las funciones de distribución acumulativa de los histogramas de ambas imágenes:${\displaystyle F_{1}()\,}$para la imagen de referencia y${\displaystyle F_{2}()\,}$para la imagen objetivo. Luego, para cada nivel de gris.${\displaystyle G_{1}\in [0,255]}$, encontramos el nivel de gris${\displaystyle G_{2}\,}$para qué${\displaystyle F_{1}(G_{1})=F_{2}(G_{2})\,}$y este es el resultado de la función de coincidencia de histogramas:${\displaystyle M(G_{1})=G_{2}\,}$. Finalmente, aplicamos la función${\displaystyle M()}$en cada píxel de la imagen de referencia.

En aplicaciones prácticas, la coincidencia de histogramas solo puede aproximar el histograma especificado. Todos los píxeles con un valor determinado en la imagen original deben transformarse a un único valor en la imagen de salida. Por este motivo, pueden aparecer huecos o zonas sin cubrir en el histograma resultante.

La coincidencia exacta de histogramas es el problema de encontrar una transformación para una imagen discreta de manera que su histograma coincida exactamente con el histograma especificado. ^{[ 4 ]} Se han propuesto varias técnicas para esto. Un enfoque simplista convierte la imagen de valores discretos en una imagen de valores continuos y agrega pequeños valores aleatorios a cada píxel para que sus valores puedan clasificarse sin empates. Sin embargo, esto introduce ruido en la imagen de salida.

El algoritmo de coincidencia de histogramas se puede extender para encontrar una correspondencia monótona entre dos conjuntos de histogramas. Dados dos conjuntos de histogramas${\displaystyle P=\{p_{i}\}_{i=1}^{k}}$ y${\displaystyle Q=\{q_{i}\}_{i=1}^{k}}$, el mapeo de color monotónico óptimo${\displaystyle M}$se calcula para minimizar simultáneamente la distancia entre los dos conjuntos, es decir${\displaystyle \operatorname {argmin} _{M}\sum _{k}d(M(p_{k}),q_{k})}$dónde${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$es una métrica de distancia entre dos histogramas. La solución óptima se calcula mediante programación dinámica . ^{[ 5 ]}

• Ecualización de histograma
• histograma de la imagen
• Mapeo de colores