Formalismo HPO

Una propuesta de historia homogénea${\displaystyle \,\alpha }$es una secuencia de proposiciones de un solo tiempo${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$especificado en diferentes momentos${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$Estos tiempos se denominan el soporte temporal de la historia. Denotaremos la proposición${\displaystyle \,\alpha }$como${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$y léelo como

"${\displaystyle \alpha _{t_{1}}}$en ese momento${\displaystyle t_{1}}$es cierto y luego${\displaystyle \alpha _{t_{2}}}$en ese momento${\displaystyle t_{2}}$es cierto y luego${\displaystyle \ldots }$y luego${\displaystyle \alpha _{t_{n}}}$en ese momento${\displaystyle t_{n}}$es cierto"

No todas las proposiciones históricas pueden representarse mediante una secuencia de proposiciones de un solo tiempo en diferentes momentos. Estas se denominan proposiciones históricas no homogéneas . Un ejemplo es la proposición${\displaystyle \,\alpha }$O${\displaystyle \,\beta }$para dos historias homogéneas${\displaystyle \,\alpha,\beta}$.

Si${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son dos historias homogéneas entonces la proposición histórica "${\displaystyle \,\alpha }$y${\displaystyle \,\beta }$" es también una historia homogénea. Está representada por el operador de proyección.

${\displaystyle {\widehat {\alpha \wedge \beta }}:={\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$${\displaystyle (={\sombrero {\beta }}{\sombrero {\alpha }})}$

Si${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son dos historias homogéneas entonces la proposición histórica "${\displaystyle \,\alpha }$o${\displaystyle \,\beta }$"En general, no es una historia homogénea. Está representada por el operador de proyección.

${\displaystyle {\widehat {\alpha \vee \beta }}:={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$

La operación de negación en el retículo de operadores de proyección toma${\displaystyle {\hat {P}}}$a

${\displaystyle \neg {\hat {P}}:=\mathbb {I} -{\hat {P}}}$

dónde${\displaystyle \mathbb {I} }$es el operador identidad en el espacio de Hilbert. Por lo tanto, el proyector utilizado para representar la proposición${\displaystyle \neg \alpha }$(es decir "no${\displaystyle \alpha }$") es

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}:=\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}.}$

Como ejemplo, consideremos la negación de la proposición de historia homogénea de dos tiempos.${\displaystyle \,\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2})}$. El proyector para representar la proposición${\displaystyle \neg \alpha }$es

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}=\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1}\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$${\displaystyle =(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}+{\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})+(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$

Los términos que aparecen en esta expresión:

• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$
• ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$
• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$.

Cada una puede interpretarse de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$es falso y${\displaystyle \,\alpha _{2}}$es verdad
• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$es cierto y${\displaystyle \,\alpha _{2}}$es falso
• ambos${\displaystyle \,\alpha _{1}}$es falso y${\displaystyle \,\alpha _{2}}$es falso

Estas tres historias homogéneas, unidas con la operación OR, incluyen todas las posibilidades de cómo la proposición "${\displaystyle \,\alpha _{1}}$y luego${\displaystyle \,\alpha _{2}}$" puede ser falso. Por lo tanto, vemos que la definición de${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}}$está de acuerdo con lo que propone${\displaystyle \neg \alpha }$debería significar.