Las ecuaciones de Hitchin

En matemáticas , y en particular en geometría diferencial y teoría de gauge , las ecuaciones de Hitchin son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una conexión y un campo de Higgs en un fibrado vectorial o fibrado principal sobre una superficie de Riemann , escrito por Nigel Hitchin en 1987. ^{[ 1 ]} Las ecuaciones de Hitchin son localmente equivalentes a la ecuación de mapeo armónico para una superficie en el espacio simétrico dual al grupo de estructura. ^{[ 2 ]} También aparecen como una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills autoduales de cuatro dimensiones a dos dimensiones, y las soluciones a las ecuaciones de Hitchin dan ejemplos de fibrados de Higgs y de conexiones holomorfas. La existencia de soluciones a las ecuaciones de Hitchin en una superficie de Riemann compacta se deduce de la estabilidad del fibrado de Higgs correspondiente o de la conexión holomorfa correspondiente, y esta es la forma más simple de la correspondencia de Hodge no abeliana .

El espacio de módulos de soluciones a las ecuaciones de Hitchin fue construido por Hitchin en el caso de rango dos sobre una superficie de Riemann compacta y fue uno de los primeros ejemplos de una variedad hiperkähler construida. La correspondencia de Hodge no abeliana muestra que es isomorfo al espacio de módulos del fibrado de Higgs y al espacio de módulos de conexiones holomorfas. Utilizando la estructura métrica en el espacio de módulos del fibrado de Higgs proporcionada por su descripción en términos de las ecuaciones de Hitchin, Hitchin construyó el sistema de Hitchin , un sistema completamente integrable cuya generalización retorcida sobre un cuerpo finito fue utilizada por Ngô Bảo Châu en su demostración del lema fundamental en el programa de Langlands , por la cual recibió la Medalla Fields 2010. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La definición puede formularse para una conexión en un fibrado vectorial o fibrado principal , siendo ambas perspectivas esencialmente intercambiables. Aquí se presenta la definición de fibrados principales, que es la forma que aparece en la obra de Hitchin. ^{[ 1 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Dejar${\displaystyle P\to \Sigma }$ser un director${\displaystyle G}$-paquete para un grupo de mentiras real compacto${\displaystyle G}$sobre una superficie de Riemann compacta . Para simplificar, consideraremos el caso de${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$o${\displaystyle G={\text{SO}}(3)}$, el grupo unitario especial o grupo ortogonal especial . Supongamos${\displaystyle A}$es una conexión en${\displaystyle P}$y dejar${\displaystyle \Phi }$ser una sección del fibrado vectorial complejo${\displaystyle {\text{ad}}P^{\mathbb {C} }\otimes T_{1,0}^{*}\Sigma }$, dónde${\displaystyle {\text{ad}}P^{\mathbb {C} }}$es la complejización del haz adjunto de${\displaystyle P}$, con fibra dada por la complexificación${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} }$del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de${\displaystyle G}$. Eso es,${\displaystyle \Phi }$es un complejo${\displaystyle {\text{ad}}P}$-valorado${\displaystyle (1,0)}$-formulario en${\displaystyle \Sigma }$. Tal es${\displaystyle \Phi }$se le llama campo de Higgs por analogía con el campo de Higgs auxiliar que aparece en la teoría de Yang-Mills .

Para un par${\displaystyle (A,\Phi )}$Las ecuaciones de Hitchin ^{[ 1 ]} afirman que

$${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=0\\{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0.\end{cases}}}$$

dónde${\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(\Sigma ,{\text{ad}}P)}$es la forma de curvatura de${\displaystyle A}$,${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$es el${\displaystyle (0,1)}$-parte de la conexión inducida en el haz adjunto complejizado${\displaystyle {\text{ad}}P\otimes \mathbb {C} }$, y${\displaystyle [\Phi,\Phi ^{*}]}$es el conmutador de${\displaystyle {\text{ad}}P}$formas univariadas en el sentido de formas diferenciales valuadas en álgebras de Lie .

Desde${\displaystyle [\Phi,\Phi ^{*}]}$es de tipo${\displaystyle (1,1)}$Las ecuaciones de Hitchin afirman que${\displaystyle (0,2)}$-componente${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$. Desde${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}^{2}=F_{A}^{0,2}}$, esto implica que${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$es un operador de Dolbeault en${\displaystyle {\text{ad}}P^{\mathbb {C} }}$y le da a este fibrado de álgebra de Lie la estructura de un fibrado vectorial holomorfo . Por lo tanto, la condición${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}\Phi =0}$significa que${\displaystyle \Phi }$es un holomorfo${\displaystyle {\text{ad}}P}$-valorado${\displaystyle (1,0)}$-formulario en${\displaystyle \Sigma }$Un par que consiste en un fibrado vectorial holomorfo${\displaystyle E}$con un endomorfismo holomórfico valorado${\displaystyle (1,0)}$-forma${\displaystyle \Phi }$Se denomina haz de Higgs , por lo que cada solución a las ecuaciones de Hitchin produce un ejemplo de un haz de Higgs.

Las ecuaciones de Hitchin se pueden derivar como una reducción dimensional de las ecuaciones de Yang-Mills de cuatro dimensiones a dos dimensiones. Consideremos una conexión${\displaystyle A}$sobre un principio trivial${\displaystyle G}$-paquete terminado${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Entonces existen cuatro funciones${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}:\mathbb {R} ^{4}\to {\mathfrak {g}}}$de tal manera que $${\displaystyle A=A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}+A_{4}dx^{4}}$$ dónde${\displaystyle dx^{i}}$son las formas diferenciales de coordenadas estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Las ecuaciones de autodualidad para la conexión${\displaystyle A}$, un caso particular de las ecuaciones de Yang-Mills , se puede escribir $${\displaystyle {\begin{cases}F_{12}=F_{34}\\F_{13}=F_{42}\\F_{14}=F_{23}\end{cases}}}$$ dónde${\textstyle F=\sum _{i<j}F_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}}$es la curvatura de dos formas de${\displaystyle A}$Para reducir dimensionalmente a dos dimensiones, se impone que las formas de conexión${\displaystyle A_{i}}$son independientes de las coordenadas${\displaystyle x^{3},x^{4}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Por lo tanto, los componentes${\displaystyle A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}}$definir una conexión en el paquete restringido sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y si uno cambia la etiqueta${\displaystyle A_{3}=\phi _{1}}$,${\displaystyle A_{4}=\phi _{2}}$Entonces estos son auxiliares${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$campos con valor sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Si uno ahora escribe${\displaystyle \phi =\phi _{1}-i\phi _{2}}$y${\textstyle \Phi ={\frac {1}{2}}\phi dz}$dónde${\displaystyle dz=dx^{1}+idx^{2}}$es el complejo estándar${\displaystyle (1,0)}$-formulario en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C} }$, entonces las ecuaciones de autodualidad anteriores se convierten precisamente en las ecuaciones de Hitchin. Dado que estas ecuaciones son conformemente invariantes en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$Tienen sentido en una compactificación conforme del plano, una superficie de Riemann.