Sistema de enganche

En matemáticas , el sistema integrable de Hitchin es un sistema integrable que depende de la elección de un grupo reductivo complejo y una superficie de Riemann compacta , introducido por Nigel Hitchin en 1987. Se sitúa en la intersección de la geometría algebraica , la teoría de las álgebras de Lie y la teoría de sistemas integrables . También desempeña un papel importante en la correspondencia geométrica de Langlands sobre el campo de los números complejos mediante la teoría de campos conformes .

Un análogo de género cero del sistema de Hitchin, el sistema de Garnier , fue descubierto por René Garnier un poco antes como un cierto límite de las ecuaciones de Schlesinger , y Garnier resolvió su sistema definiendo curvas espectrales. (El sistema de Garnier es el límite clásico del modelo de Gaudin . A su vez, las ecuaciones de Schlesinger son el límite clásico de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov ).

Casi todos los sistemas integrables de la mecánica clásica pueden obtenerse como casos particulares del sistema de Hitchin o de su generalización común definida por Bottacin y Markman en 1994.

Utilizando el lenguaje de la geometría algebraica, el espacio de fases del sistema es una compactificación parcial del fibrado cotangente al espacio de módulos de fibrados G estables para algún grupo reductivo G , sobre alguna curva algebraica compacta . Este espacio está dotado de una forma simpléctica canónica . Supongamos, por simplicidad, que${\displaystyle G=\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$, el grupo lineal general ; entonces los hamiltonianos se pueden describir de la siguiente manera: el espacio tangente al espacio de módulos de fibrados G en el fibrado F es

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {End} (F)),}$

que por Serre la dualidad es dual a

${\displaystyle \Phi \in H^{0}(\operatorname {End} (F)\otimes K),}$

dónde${\displaystyle K}$es el fibrado canónico , por lo que un par

${\displaystyle (F,\Phi )}$

llamado par de Hitchin o fibrado de Higgs , define un punto en el fibrado cotangente. Tomando

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Phi ^{k}),\qquad k=1,\ldots ,\operatorname {rank} (G)}$

uno obtiene elementos en

${\displaystyle H^{0}(K^{\otimes k}),}$

que es un espacio vectorial que no depende de${\displaystyle (F,\Phi )}$Así, tomando cualquier base en estos espacios vectoriales obtenemos funciones H _i , que son los hamiltonianos de Hitchin. La construcción para el grupo reductivo general es similar y utiliza polinomios invariantes en el álgebra de Lie de G . 

Por razones triviales, estas funciones son algebraicamente independientes, y algunos cálculos demuestran que su número es exactamente la mitad de la dimensión del espacio de fases. La parte no trivial consiste en una prueba de la conmutatividad de Poisson de estas funciones. Por lo tanto, definen un sistema integrable en el sentido simpléctico o de Arnol'd-Liouville .

La fibración de Hitchin es la aplicación del espacio de módulos de pares de Hitchin a polinomios característicos , un análogo de género superior de la aplicación que Garnier utilizó para definir las curvas espectrales. Ngô ( 2006 , 2010 ) utilizó fibraciones de Hitchin sobre cuerpos finitos en su demostración del lema fundamental . 

Para ser más precisos, la versión de la fibración de Hitchin que utiliza Ngô tiene como fuente la pila de módulos de pares de Hitchin, en lugar del espacio de módulos.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​el álgebra de Lie del grupo algebraico reductivo${\displaystyle G}$. Tenemos la acción adjunta de${\displaystyle G}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Entonces podemos tomar el cociente de la pila${\displaystyle {\mathfrak {g}}/G}$y el cociente GIT${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\!/G}$y hay un morfismo natural${\displaystyle \chi$ :{\mathfrak {g}}/G\to {\mathfrak {g}}/\!/G} . También existe la acción de escalamiento natural del grupo multiplicativo.${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, que desciende a la pila y a los cocientes GIT. Además, el morfismo${\displaystyle \chi }$es equivariante con respecto a la${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-acciones. Por lo tanto, dado cualquier paquete de líneas${\displaystyle L}$en nuestra curva${\displaystyle C}$, podemos retorcer el morfismo${\displaystyle \chi }$por el${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$- torsor , y obtener un morfismo${\displaystyle \chi _{L}:({\mathfrak {g}}/G)_{L}\to ({\mathfrak {g}}/\!/G)_{L}}$de pilas más${\displaystyle C}$. Finalmente, la pila de módulos de${\displaystyle L}$-los haces de Higgs retorcidos se recuperan como la pila de secciones${\displaystyle Higgs=Sect(C,({\mathfrak {g}}/G)_{L})}$; la base Hitchin correspondiente se recupera como${\displaystyle A(C,L):=Sect(C,({\mathfrak {g}}/\!/G)_{L})}$, que está representado por un espacio vectorial; y el morfismo de Hitchin a nivel de pila.${\displaystyle h:Higgs\to A(C,L)}$es simplemente el morfismo inducido por el morfismo${\displaystyle \chi _{L}}$arriba. Nótese que esta definición no es relevante para la semiestabilidad. Para obtener la fibración de Hitchin mencionada anteriormente, necesitamos tomar${\displaystyle L}$para ser el fibrado canónico, restringir a la parte semiestable de${\displaystyle Higgs}$y luego tomar el morfismo inducido en el espacio de módulos. Para ser aún más precisos, la versión de${\displaystyle Higgs}$que es utilizado por Ngô a menudo tiene la restricción de que${\displaystyle \deg(L)\geq 2g}$, de modo que no puede ser el fibrado canónico. Esta condición se añade para garantizar que la topología del morfismo de Hitchin esté, en un sentido preciso , determinada por su restricción a la parte lisa, véase ( Chaudouard y Laumon 2016 ) para el caso del fibrado vectorial.

• Ecuaciones de Yang-Mills
• paquete de Higgs
• Correspondencia de Hodge no abeliana
• Variedad de personajes
• Las ecuaciones de Hitchin

• Chudnovsky, DV (1979), "Sistemas Schlesinger simplificados", Lettere al Nuovo Cimento , 26 (14): 423– 427, doi : 10.1007/BF02817023 , S2CID 122196561 
• Garnier, René (1919), "Sur une classe de systemes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires" , Rend. Circo. Estera. Palermo , 43 : 155– 191, doi : 10.1007/BF03014668 , S2CID 120557738 
• Hitchin, Nigel (1987), "Stable bundles and integrable systems", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 91– 114, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05408-1
• Ngô, Bao Châu (2006), "Fibration de Hitchin et Structure endoscopique de la formule des traces" (PDF) , Congreso Internacional de Matemáticos. vol. II , Eur. Matemáticas. Soc., Zúrich, págs. 1213-1225 , MR 2275642  
• Ngô, Bao Châu (2010), "Fibration de Hitchin et endoscopie", Inventiones Mathematicae , 164 (2): 399– 453, arXiv : math/0406599 , Bibcode : 2006InMat.164..399N , doi : 10.1007/s00222-005-0483-7 , ISSN 0020-9910 , MR 2218781 , S2CID 52064585   
• Chaudouard, Pierre-Henri; Laumon, Gérard (2016), "Un théorème du support pour la fibration de Hitchin", Annales de l'Institut Fourier , vol.  66, núm.  2, págs. 711– 727