Puntos de Hofstadter

En geometría plana , un punto de Hofstadter es un punto especial asociado con cada triángulo plano . De hecho, hay varios puntos de Hofstadter asociados con un triángulo. Todos ellos son centros de triángulos . Dos de ellos, el punto cero de Hofstadter y el punto uno de Hofstadter , son particularmente interesantes. ^[1] Son dos centros de triángulos trascendentales . El punto cero de Hofstadter es el centro designado como X(360) y el punto uno de Hofstafter es el centro denotado como X(359) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling . El punto cero de Hofstadter fue descubierto por Douglas Hofstadter en 1992. ^[1]

Sea △ ABC un triángulo dado. Sea r una constante real positiva.

Gire el segmento de línea BC alrededor de B a través de un ángulo rB hacia A y sea L _BC la línea que contiene este segmento de línea. A continuación, gire el segmento de línea BC alrededor de C a través de un ángulo rC hacia A. Sea L' _BC la línea que contiene este segmento de línea. Sean las líneas L _BC y L' _BC intersecadas en A ( r ) . De manera similar, se construyen los puntos B ( r ) y C ( r ) . El triángulo cuyos vértices son A ( r ), B ( r ), C ( r ) es el r -triángulo de Hofstadter (o, el r -triángulo de Hofstadter) de △ ABC . ^{[2] [1]}

• El triángulo 1/3 de Hofstadter del triángulo △ ABC es el primer triángulo de Morley de △ ABC . El triángulo de Morley es siempre un triángulo equilátero .
• El triángulo 1/2 de Hofstadter es simplemente el incentro del triángulo.

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo r de Hofstadter se dan a continuación:

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC }{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\ fractura {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:& {\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}}$$

Para una constante real positiva r > 0 , sea A ( r ), B ( r ), C ( r ) el r -triángulo de Hofstadter del triángulo △ ABC . Entonces las rectas AA ( r ), BB ( r ), CC ( r ) son concurrentes. ^[3] El punto de concurrencia es el r -punto de Hofstadter de △ ABC .

Las coordenadas trilineales del punto r de Hofstadter se dan a continuación.

$${\displaystyle {\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\ :\ {\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}\ :\ {\frac {\ sin rC}{\sin(C-rC)}}}$$

Las coordenadas trilineales de estos puntos no se pueden obtener introduciendo los valores 0 y 1 para r en las expresiones para las coordenadas trilineales del punto r de Hofstadter .

El punto cero de Hofstadter es el límite del punto r de Hofstadter cuando r se acerca a cero; por lo tanto, las coordenadas trilineales del punto cero de Hofstadter se derivan de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\ sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implica \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB)}}& :&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implica \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC\sin(C-rC)}}\end{array}}}$$

Desde${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rA}{rA}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rB}{rB}}=\lim _ {r\a 0}{\tfrac {\sin rC}{rC}}=1,}$

$${\displaystyle \implies {\frac {A}{\sin A}}\ :\ {\frac {B}{\sin B}}\ :\ {\frac {C}{\sin C}}\quad =\quad {\frac {A}{a}}\ :\ {\frac {B}{b}}\ :\ {\frac {C}{c}}}$$

El punto uno de Hofstadter es el límite del punto r de Hofstadter cuando r se acerca a uno; por lo tanto, las coordenadas trilineales del punto uno de Hofstadter se derivan de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}}$$

Desde${\displaystyle \lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)A}{\sin(A-rA)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)B}{\sin(B-rB)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)C}{\sin(C-rC)}}=1,}$

$${\displaystyle \implies {\frac {\sin A}{A}}\ :\ {\frac {\sin B}{B}}\ :\ {\frac {\sin C}{C}}\quad =\quad {\frac {a}{A}}\ :\ {\frac {b}{B}}\ :\ {\frac {c}{C}}}$$