Estado del soporte

En matemáticas , decimos que una función satisface una condición de Hölder , o es${\displaystyle \alpha }$-Hölder continua o simplemente Hölder continua , si para una función de valor real o complejo${\displaystyle f}$en${\displaystyle d}$espacio euclidiano de -dimensiones , es decir${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$(dónde${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$o${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$), cuando hay constantes reales${\displaystyle C\geq 0}$,${\displaystyle \alpha >0}$, de tal manera que $${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|xy\|^{\alpha }}$$ a pesar de${\displaystyle x,y\in \Omega }$. ^{[ 1 ]} De manera más general, la condición puede formularse para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera . El número${\displaystyle \alpha }$se denomina exponente de la condición de Hölder. Una función en un intervalo que satisface la condición con${\displaystyle \alpha >1}$es constante (ver demostración a continuación). Si${\displaystyle \alpha =1}$, entonces la función satisface una condición de Lipschitz . Para cualquier${\displaystyle \alpha >0}$La condición implica que la función es uniformemente continua . La condición recibe su nombre de Otto Hölder . Si${\displaystyle \alpha =0}$, la función es simplemente acotada (cualesquiera dos valores)${\displaystyle f}$Las tomas son como máximo${\displaystyle C}$aparte).

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones para funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] de la recta real con a < b :

Continuo de Lipschitz ⊂${\displaystyle \alpha }$-Hölder continuo ⊂ uniformemente continuo ⊂ continuo ,

donde 0 < α ≤ 1 .

Los espacios de Hölder que consisten en funciones que satisfacen una condición de Hölder son fundamentales en áreas del análisis funcional relevantes para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales y en sistemas dinámicos . El espacio de Hölder C ^{k , α} (Ω) , donde Ω es un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano y k ≥ 0 un entero , consiste en aquellas funciones en Ω que tienen derivadas continuas hasta el orden k y tales que las derivadas parciales k -ésimas son continuas de Hölder con exponente α , donde 0 < α ≤ 1 . Este es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Si el coeficiente de Hölder $${\displaystyle \left|f\right|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\left\|xy\right\|^{\alpha }}},}$$es finito, entonces se dice que la función f es (uniformemente) continua de Hölder con exponente α en Ω . En este caso, el coeficiente de Hölder actúa como una seminorma . Si el coeficiente de Hölder está acotado únicamente en subconjuntos compactos de Ω , entonces se dice que la función f es localmente continua de Hölder con exponente α en Ω .

Si la función f y sus derivadas hasta el orden k están acotadas en la clausura de Ω, entonces el espacio de Hölder${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$se le puede asignar la norma $${\displaystyle \left\|f\right\|_{C^{k,\alpha }}=\left\|f\right\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}$$ donde β varía sobre múltiples índices y $${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.}$$

Estas seminormas y normas a menudo se denotan simplemente${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha }}$y${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha }}$o también${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha ,\Omega }\;}$y${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha ,\Omega }}$para enfatizar la dependencia del dominio de f . Si Ω es abierto y acotado, entonces${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$es un espacio de Banach con respecto a la norma${\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}}$.

Sea Ω un subconjunto acotado de algún espacio euclidiano (o, más generalmente, cualquier espacio métrico totalmente acotado) y sean 0 < α < β ≤ 1 dos exponentes de Hölder. Entonces, existe una aplicación de inclusión obvia de los espacios de Hölder correspondientes: $${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}$$ lo cual es continuo ya que, por definición de las normas de Hölder, tenemos: $${\displaystyle \forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}$$

Además, esta inclusión es compacta, lo que significa que los conjuntos acotados en la norma ‖ · ‖ _0,β son relativamente compactos en la norma ‖ · ‖ _0,α . Esto es una consecuencia directa del teorema de Ascoli-Arzelà . En efecto, sea ( u _n ) una sucesión acotada en C ^0,β (Ω) . Gracias al teorema de Ascoli-Arzelà podemos suponer sin pérdida de generalidad que u _n → u uniformemente, y también podemos suponer u = 0 . Entonces $${\displaystyle \left|u_{n}-u\right|_{0,\alpha }=\left|u_{n}\right|_{0,\alpha }\to 0,}$$ porque $${\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}$$

• Si 0 < α ≤ β ≤ 1 entonces todos${\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}$Las funciones continuas de Hölder en un conjunto acotado Ω también lo son.${\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}$Continua de Hölder. Esto también incluye β = 1 y, por lo tanto, todas las funciones continuas de Lipschitz en un conjunto acotado también son C ^{0, α} continuas de Hölder.
• The function f(x) = x^β (with β ≤ 1) defined on [0, 1] serves as a prototypical example of a function that is C^0,α Hölder continuous for 0 < α ≤ β, but not for α > β. Further, if we defined f analogously on ${\displaystyle [0,\infty )}$, it would be C^0,α Hölder continuous only for α = β.
• If a function ${\displaystyle f}$ is ${\displaystyle \alpha }$–Hölder continuous on an interval and ${\displaystyle \alpha >1,}$ then ${\displaystyle f}$ is constant.

• There are examples of uniformly continuous functions that are not α–Hölder continuous for any α. For instance, the function defined on [0, 1/2] by f(0) = 0 and by f(x) = 1/log(x) otherwise is continuous, and therefore uniformly continuous by the Heine-Cantor theorem. It does not satisfy a Hölder condition of any order, however.
• The Weierstrass function defined by: $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),}$$ where ${\displaystyle 0<a<1,b}$ is an integer, ${\displaystyle b\geq 2}$ and ${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},}$ is α-Hölder continuous with^[2]$${\displaystyle \alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.}$$
• The Cantor function is Hölder continuous for any exponent ${\displaystyle \alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},}$ and for no larger one. (The number ${\displaystyle {\tfrac {\log 2}{\log 3}}}$ is the Hausdorff dimension of the standard Cantor set.) In the former case, the inequality of the definition holds with the constant C := 2.
• Peano curves from [0, 1] onto the square [0, 1]² can be constructed to be 1/2–Hölder continuous. It can be proved that when ${\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}$ the image of a ${\displaystyle \alpha }$-Hölder continuous function from the unit interval to the square cannot fill the square.
• Sample paths of Brownian motion are almost surely everywhere locally ${\displaystyle \alpha }$-Hölder for every ${\displaystyle \alpha <{\tfrac {1}{2}}}$.
• Functions which are locally integrable and whose integrals satisfy an appropriate growth condition are also Hölder continuous. For example, if we let $${\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)\,dy}$$y u satisface$${\displaystyle \int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },}$$entonces u es continua de Hölder con exponente α . ^{[ 3 ]}
• Las funciones cuya oscilación decae a una tasa fija con respecto a la distancia son continuas de Hölder con un exponente que está determinado por la tasa de decaimiento. Por ejemplo, si$${\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}$$para alguna función u ( x ) satisface$${\displaystyle w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)}$$Para un λ fijo con 0 < λ < 1 y todos los valores suficientemente pequeños de r , entonces u es continua de Hölder.
• Las funciones en el espacio de Sobolev pueden incrustarse en el espacio de Hölder apropiado mediante la desigualdad de Morrey si la dimensión espacial es menor que el exponente del espacio de Sobolev. Para ser precisos, si${\displaystyle n<p\leq \infty }$Entonces existe una constante C , que depende únicamente de p y n , tal que:$${\displaystyle \forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},}$$dónde${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.}$Por lo tanto, si u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) , entonces u es de hecho Hölder continua de exponente γ , después de posiblemente ser redefinida en un conjunto de medida 0.

• Un subgrupo aditivo cerrado de un espacio de Hilbert H de dimensión infinita , conectado por arcos continuos de Hölder α con α > 1/2 , es un subespacio lineal . Existen subgrupos aditivos cerrados de H , que no son subespacios lineales, conectados por arcos continuos de Hölder 1/2. Un ejemplo es el subgrupo aditivo L ² ( R , Z ) del espacio de Hilbert L ² ( R , R ) .
• Cualquier función continua de Hölder α f en un espacio métrico X admite una aproximación de Lipschitz mediante una secuencia de funciones ( f _k ) tales que f _k es k -Lipschitz y$${\displaystyle \left\|f-f_{k}\right\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}$$Por el contrario, cualquier secuencia de funciones de Lipschitz ( f _k ) converge a un límite uniforme continuo α – Hölder f .
• Cualquier función α - Hölder f en un subconjunto X de un espacio normado E admite una extensión uniformemente continua a todo el espacio, que es continua de Hölder con la misma constante C y el mismo exponente α . La mayor de dichas extensiones es:$${\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}$$
• La imagen de cualquier${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$bajo una función α - Hölder tiene dimensión de Hausdorff como máximo${\displaystyle {\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}}$, dónde${\displaystyle \dim _{H}(U)}$es la dimensión de Hausdorff de${\displaystyle U}$.
• El espacio${\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1}$no es separable.
• La incrustación${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1}$no es denso.
• Si${\displaystyle f(t)}$y${\displaystyle g(t)}$Satisfacer en el arco suave L el${\displaystyle H(\mu )}$y${\displaystyle H(\nu )}$condiciones respectivamente, luego las funciones${\displaystyle f(t)+g(t)}$y${\displaystyle f(t)g(t)}$satisfacer la${\displaystyle H(\alpha )}$condición en L , donde${\displaystyle \alpha =\min\{\mu ,\nu \}}$.

• variación p