mar de Dirac

El mar de Dirac es un modelo teórico del vacío electrónico como un mar infinito de electrones con energía negativa . Fue postulado por primera vez por el físico británico Paul Dirac en 1930 ^{[ 1 ]} para explicar los estados cuánticos anómalos de energía negativa predichos por la ecuación de Dirac relativísticamente correcta para los electrones . ^{[ 2 ]} El positrón, la antipartícula del electrón, fue concebido originalmente como un agujero en el mar de Dirac, antes de su descubrimiento experimental en 1932. ^{[ nb 1 ]}

En la teoría de agujeros, las soluciones con factores de evolución temporal negativos se reinterpretan como representativas del positrón, descubierto por Carl Anderson . La interpretación de este resultado requiere un mar de Dirac, lo que demuestra que la ecuación de Dirac no es simplemente una combinación de relatividad especial y mecánica cuántica , sino que también implica que el número de partículas no puede conservarse. ^{[ 3 ]}

La teoría del mar de Dirac ha sido desplazada por la teoría cuántica de campos , aunque son matemáticamente compatibles.

El físico soviético Yakov Frenkel ya había desarrollado ideas similares sobre la existencia de agujeros en los cristales en 1926, pero no hay indicios de que el concepto se discutiera con Dirac cuando ambos se reunieron en un congreso de física soviético en el verano de 1928.

El origen del mar de Dirac reside en el espectro energético de la ecuación de Dirac , una extensión de la ecuación de Schrödinger compatible con la relatividad especial , ecuación que Dirac formuló en 1928. Si bien esta ecuación fue sumamente eficaz para describir la dinámica electrónica, posee una característica peculiar: para cada estado cuántico con energía positiva E , existe un estado correspondiente con energía -E . Esto no representa una gran dificultad al considerar un electrón aislado, ya que su energía se conserva y los electrones con energía negativa pueden omitirse. Sin embargo, surgen dificultades al considerar los efectos del campo electromagnético , puesto que un electrón con energía positiva podría liberar energía emitiendo fotones continuamente , un proceso que podría continuar indefinidamente a medida que el electrón desciende a estados de energía cada vez menores. No obstante, los electrones reales claramente no se comportan de esta manera.

La solución de Dirac a este problema consistió en basarse en el principio de exclusión de Pauli . Los electrones son fermiones y obedecen este principio, lo que significa que dos electrones no pueden compartir un mismo estado energético dentro de un átomo. Dirac planteó la hipótesis de que lo que consideramos el " vacío " es, en realidad, el estado en el que todos los estados de energía negativa están ocupados y ninguno de los de energía positiva. Por lo tanto, si quisiéramos introducir un solo electrón, tendríamos que colocarlo en un estado de energía positiva, ya que todos los estados de energía negativa están ocupados. Además, incluso si el electrón pierde energía emitiendo fotones, no podría descender por debajo de energía cero.

Dirac señaló además que podría existir una situación en la que todos los estados de energía negativa estuvieran ocupados excepto uno. Este "hueco" en el mar de electrones de energía negativa respondería a los campos eléctricos como si fuera una partícula con carga positiva. Inicialmente, Dirac identificó este hueco como un protón . Sin embargo, Robert Oppenheimer señaló que un electrón y su hueco podrían aniquilarse mutuamente, liberando energía del orden de la energía en reposo del electrón en forma de fotones energéticos; si los huecos fueran protones, no existirían átomos estables. ^{[ 4 ]} Hermann Weyl también señaló que un hueco debería comportarse como si tuviera la misma masa que un electrón, mientras que el protón es aproximadamente dos mil veces más pesado. El problema se resolvió finalmente en 1932, cuando Carl Anderson descubrió el positrón , con todas las propiedades físicas predichas para el hueco de Dirac .

A pesar de su éxito, la idea del mar de Dirac no suele parecer muy elegante. La existencia del mar implica una carga eléctrica negativa infinita que llena todo el espacio. Para que esto tenga sentido, hay que suponer que el "vacío desnudo" debe tener una densidad de carga positiva infinita que se cancela exactamente con el mar de Dirac. Dado que la densidad de energía absoluta es inobservable —salvo la constante cosmológica— , la densidad de energía infinita del vacío no representa un problema. Solo se pueden observar cambios en la densidad de energía. Geoffrey Landis también señala que la exclusión de Pauli no significa definitivamente que un mar de Dirac lleno no pueda aceptar más electrones, ya que, como dilucidó Hilbert , un mar de extensión infinita puede aceptar nuevas partículas incluso si está lleno. Esto ocurre cuando tenemos una anomalía quiral y un instantón de gauge .

El desarrollo de la teoría cuántica de campos (TCC) en la década de 1930 permitió reformular la ecuación de Dirac de manera que el positrón se considera una partícula "real" en lugar de la ausencia de una partícula, y el vacío se define como el estado en el que no existen partículas, en vez de un mar infinito de partículas. Esta descripción reproduce todas las predicciones válidas del mar de Dirac , como la aniquilación electrón-positrón. Por otro lado, la formulación de campo no elimina todas las dificultades que plantea el mar de Dirac; en particular, el problema del vacío con energía infinita .

Al resolver la ecuación de Dirac libre,

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=(c{\hat {\boldsymbol {\alpha }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}+mc^{2}{\hat {\beta }})\Psi ,}$$

uno encuentra ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {p} \lambda }=N\left({\begin{matrix}U\\{\frac {(c{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\boldsymbol {p}})}{mc^{2}+\lambda E_{p}}}U\end{matrix}}\right){\frac {\exp[i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -\varepsilon t)/\hbar ]}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}},}$$

dónde

$${\displaystyle \varepsilon =\pm E_{p},\quad E_{p}=+c{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{2}}},\quad \lambda =\operatorname {sgn} \varepsilon }$$

para soluciones de ondas planas con momento 3 p . Esto es una consecuencia directa de la relación energía-momento relativista.

$${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$$

sobre la cual se construye la ecuación de Dirac. La cantidad U es un vector columna constante de 2 × 1 y N es una constante de normalización. La cantidad ε se llama factor de evolución temporal , y su interpretación en roles similares en, por ejemplo, las soluciones de onda plana de la ecuación de Schrödinger , es la energía de la onda (partícula). Esta interpretación no está disponible inmediatamente aquí, ya que puede adquirir valores negativos. Una situación similar prevalece para la ecuación de Klein-Gordon . En ese caso, el valor absoluto de ε puede interpretarse como la energía de la onda, ya que en el formalismo canónico, las ondas con ε negativo en realidad tienen energía positiva E _p . ^{[ 6 ]} Pero este no es el caso con la ecuación de Dirac. La energía en el formalismo canónico asociada con ε negativo es – E _p . ^{[ 7 ]}

La interpretación del mar de Dirac y la interpretación moderna de la teoría cuántica de campos (TCC) están relacionadas por lo que puede considerarse una transformación de Bogoliubov muy simple , una identificación entre los operadores de creación y aniquilación de dos teorías de campo libre diferentes. En la interpretación moderna, el operador de campo para un espinor de Dirac es una suma de operadores de creación y operadores de aniquilación, en una notación esquemática:

$${\displaystyle \psi (x)=\sum a^{\dagger }(k)e^{ikx}+a(k)e^{-ikx}}$$

Un operador con frecuencia negativa disminuye la energía de cualquier estado en una cantidad proporcional a la frecuencia, mientras que los operadores con frecuencia positiva aumentan la energía de cualquier estado.

En la interpretación moderna, los operadores de frecuencia positiva añaden una partícula de energía positiva, aumentando la energía, mientras que los operadores de frecuencia negativa aniquilan una partícula de energía positiva y disminuyen la energía. Para un campo fermiónico , el operador de creación${\displaystyle a^{\dagger }(k)}$da cero cuando el estado con momento k ya está lleno, mientras que el operador de aniquilación${\displaystyle a(k)}$da cero cuando el estado con momento k está vacío.

Pero entonces es posible reinterpretar el operador de aniquilación como un operador de creación para una partícula de energía negativa . Sigue disminuyendo la energía del vacío, pero desde este punto de vista lo hace creando un objeto de energía negativa. Esta reinterpretación solo afecta a la filosofía. Para reproducir las reglas que rigen cuando la aniquilación en el vacío da como resultado cero, la noción de "vacío" y "lleno" debe invertirse para los estados de energía negativa. En lugar de ser estados sin antipartícula, estos son estados que ya están llenos con una partícula de energía negativa.

El precio es que existe una no uniformidad en ciertas expresiones, porque reemplazar la aniquilación por la creación añade una constante al número de partículas de energía negativa. El operador numérico para un campo de Fermi ^{[ 8 ]} es:

$${\displaystyle N=a^{\dagger }a=1-aa^{\dagger }}$$

Esto significa que si se reemplaza N por 1− N para estados de energía negativa , hay un cambio constante en cantidades como la energía y la densidad de carga, cantidades que cuentan el número total de partículas. La constante infinita le da al mar de Dirac una energía y densidad de carga infinitas. La densidad de carga del vacío debería ser cero, ya que el vacío es invariante de Lorentz , pero esto es artificial para la representación de Dirac. La forma en que se hace es pasando a la interpretación moderna.

La idea de Dirac se aplica de forma más directa a la física del estado sólido , donde la banda de valencia en un sólido puede considerarse como un "mar" de electrones. En efecto, existen huecos en este mar, que son de suma importancia para comprender los efectos de los semiconductores , aunque nunca se les denomina "positrones". A diferencia de la física de partículas, existe una carga positiva subyacente —la carga de la red iónica— que neutraliza la carga eléctrica del mar.

El concepto original de Dirac de un mar de partículas fue revivido en la teoría de sistemas fermiónicos causales , una propuesta reciente para una teoría física unificada. En este enfoque, los problemas de la energía del vacío infinita y la densidad de carga infinita del mar de Dirac desaparecen porque estas divergencias se eliminan de las ecuaciones físicas formuladas a través del principio de acción causal . ^{[ 9 ]} Estas ecuaciones no requieren un espacio-tiempo preexistente, lo que permite realizar el concepto de que el espacio-tiempo y todas las estructuras que contiene surgen como resultado de la interacción colectiva de los estados del mar entre sí y con las partículas adicionales y los "agujeros" en el mar.

• mar de Fermi
• Positrónio
• Polarización del vacío
• partícula virtual

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