Holomorfo (matemáticas)

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , el holomorfo de un grupo${\displaystyle G}$, denotado${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)}$, es un grupo que contiene simultáneamente (copias de)${\displaystyle G}$y su grupo de automorfismos${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$Proporciona ejemplos interesantes de grupos y permite tratar los elementos de grupo y los automorfismos de grupo en un contexto uniforme. El holomorfo puede describirse como un producto semidirecto o como un grupo de permutaciones .

Si${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$es el grupo de automorfismos de${\displaystyle G}$, entonces

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$,

donde la multiplicación viene dada por

Normalmente, un producto semidirecto se da en la forma${\displaystyle G\rtimes _{\phi }A}$, dónde${\displaystyle G}$y${\displaystyle A}$son grupos y${\displaystyle \phi :A\rightarrow \operatorname {Aut} (G)}$es un homomorfismo , y donde la multiplicación de elementos en el producto semidirecto se da como

${\displaystyle (g,a)(h,b)=(g\phi (a)(h),ab)}$.

Esto está bien definido ya que${\displaystyle \phi (a)\in \operatorname {Aut} (G)}$y por lo tanto${\displaystyle \phi (a)(h)\in G}$.

Para el holomorfo,${\displaystyle A=\operatorname {Aut} (G)}$y${\displaystyle \phi }$es el mapa identidad . Como tal, suprimimos la escritura.${\displaystyle \phi }$explícitamente en la multiplicación dada en la ecuación ( 1 ) anterior.

Como ejemplo, tomemos

• ${\displaystyle G=C_{3}=\langle x\rangle =\{1,x,x^{2}\}}$el grupo cíclico de orden 3,
• ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)=\langle \sigma \rangle =\{1,\sigma \}}$, dónde${\displaystyle \sigma (x)=x^{2}}$, y
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=\{(x^{i},\sigma ^{j})\}}$con la multiplicación dada por:

${\displaystyle (x^{i_{1}},\sigma ^{j_{1}})(x^{i_{2}},\sigma ^{j_{2}})=(x^{i_{1}+i_{2}2^{^{j_{1}}}},\sigma ^{j_{1}+j_{2}})}$, donde los exponentes de${\displaystyle x}$se toman mod 3 y los de${\displaystyle \sigma }$módulo 2.

Observa que

${\displaystyle (x,\sigma )(x^{2},\sigma )=(x^{1+2\cdot 2},\sigma ^{2})=(x^{2},1)}$mientras${\displaystyle (x^{2},\sigma )(x,\sigma )=(x^{2+1\cdot 2},\sigma ^{2})=(x,1)}$.

Por lo tanto, este grupo no es abeliano y, por consiguiente,${\displaystyle \operatorname {Hol} (C_{3})}$es un grupo no abeliano de orden 6, que, por teoría básica de grupos, debe ser isomorfo al grupo simétrico.${\displaystyle S_{3}}$.

Un grupo G actúa naturalmente sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda y por la derecha, dando lugar cada multiplicación a un homomorfismo de G en el grupo simétrico del conjunto subyacente de G. Un homomorfismo se define como λ : G → Sym( G ), λ _g ( h ) = g · h . Es decir, g se mapea a la permutación obtenida al multiplicar por la izquierda cada elemento de G por g . De manera similar, un segundo homomorfismo ρ : G → Sym( G ) se define por ρ _g ( h ) = h · g ⁻¹ , donde la inversa asegura que ρ _gh ( k ) = ρ _g ( ρ _h ( k )). Estos homomorfismos se denominan representaciones regulares izquierda y derecha de G . Cada homomorfismo es inyectivo , un hecho conocido como el teorema de Cayley .

Por ejemplo, si G = C ₃ = {1, x , x ² } es un grupo cíclico de orden tres, entonces

• λ _x (1) = x ·1 = x ,
• λ _x ( x ) = x · x = x ² , y
• λ _x ( x ² ) = x · x ² = 1,

entonces λ ( x ) lleva de (1, x , x ² ) a ( x , x ² , 1).

La imagen de λ es un subgrupo de Sym( G ) isomorfo a G , y su normalizador en Sym( G ) se define como el holomorfo N de G. Para cada n en N y g en G , hay un h en G tal que n · λ _g = λ _h · n . Si un elemento n del holomorfo fija la identidad de G , entonces para 1 en G , ( n · λ _g )(1) = ( λ _h · n )(1), pero el lado izquierdo es n ( g ) y el lado derecho es h . En otras palabras, si n en N fija la identidad de G , entonces para cada g en G , n · λ _g = λ _n(g) · n . Si g y h son elementos de G , y n es un elemento de N que fija la identidad de G , entonces aplicando esta igualdad dos veces a n · λ _g · λ _h y una vez a la expresión (equivalente) n · λ _gg se obtiene que n ( g )· n ( h ) = n ( g · h ). Es decir, todo elemento de N que fija la identidad de G es de hecho un automorfismo de G. Tal n normaliza λ _G , y el único λ _g que fija la identidad es λ (1). Haciendo A el estabilizador de la identidad, el subgrupo generado por A y λ _G es producto semidirecto con el subgrupo normal λ _G y complemento A. Dado que λ _G es transitivo , el subgrupo generado por λ _G y el estabilizador puntual A es todo N , lo que muestra que el holomorfo como grupo de permutaciones es isomorfo al holomorfo como producto semidirecto.

Es útil, pero no directamente relevante, que el centralizador de λ _G en Sym( G ) sea ρ _G , su intersección es${\displaystyle \rho _ {Z(G)}=\lambda _ {Z(G)}}$, donde Z( G ) es el centro de G , y que A es un complemento común a ambos subgrupos normales de N .

• ρ ( G ) ∩ Aut( G ) = 1
• Aut( G ) normaliza ρ ( G ) de modo que canónicamente ρ ( G )Aut( G ) ≅ G ⋊ Aut( G )
• ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)\cong \operatorname {Im} (g\mapsto \lambda (g)\rho (g))}$ya que λ ( gramo ) ρ ( gramo )( h ) = ghg ^{​​− 1} (${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$es el grupo de automorfismos internos de G .)
• K ≤ G es un subgrupo característico si y solo si λ ( K ) ⊴ Hol( G )

• Hall, Marshall Jr. (1959), La teoría de los grupos , Macmillan, MR 0103215 
• Burnside, William (2004), Teoría de grupos de orden finito, 2.ª ed. , Dover, pág.  87