fibrado tangente holomorfo

En matemáticas , y especialmente en geometría compleja , el fibrado tangente holomorfo de una variedad compleja.${\displaystyle M}$es el análogo holomorfo del fibrado tangente de una variedad diferenciable . La fibra del fibrado tangente holomorfo sobre un punto es el espacio tangente holomorfo , que es el espacio tangente de la variedad diferenciable subyacente, dada la estructura de un espacio vectorial complejo a través de la estructura casi compleja.${\displaystyle J}$de la compleja variedad${\displaystyle M}$.

Dado un conjunto complejo${\displaystyle M}$de dimensión compleja${\displaystyle n}$, su fibrado tangente como fibrado vectorial suave es un rango real${\displaystyle 2n}$paquete vectorial${\displaystyle TM}$en${\displaystyle M}$La estructura integrable casi compleja${\displaystyle J}$correspondiente a la estructura compleja en la variedad${\displaystyle M}$es un endomorfismo${\displaystyle J:TM\to TM}$con la propiedad que${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$. Después de complejizar el fibrado tangente real a${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} \to M}$, el endomorfismo${\displaystyle J}$puede extenderse de forma lineal compleja a un endomorfismo${\displaystyle J:TM\otimes \mathbb {C} \to TM\otimes \mathbb {C} }$definido por${\displaystyle J(X+iY)=J(X)+iJ(Y)}$para vectores${\displaystyle X,Y}$en${\displaystyle TM}$.

Desde${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$,${\displaystyle J}$tiene valores propios${\displaystyle i,-i}$en el fibrado tangente complejizado, y${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$por lo tanto se divide como una suma directa

${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} =T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M}$

dónde${\displaystyle T^{1,0}M}$y${\displaystyle T^{0,1}M}$son los${\displaystyle i}$y${\displaystyle -i}$- autofibrados del endomorfismo lineal complejo${\displaystyle J}$. El fibrado tangente holomorfo de${\displaystyle M}$es el haz vectorial${\displaystyle T^{1,0}M}$y el fibrado tangente antiholomorfo es el fibrado vectorial${\displaystyle T^{0,1}M}$.

Los haces vectoriales${\displaystyle T^{1,0}M}$y${\displaystyle T^{0,1}M}$son subhaces vectoriales complejos naturales del haz vectorial complejo${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$y se pueden tomar sus duales. El fibrado cotangente holomorfo es el dual del fibrado tangente holomorfo y se escribe${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$. De manera similar, el fibrado cotangente antiholomorfo es el dual del fibrado tangente antiholomorfo, y se escribe${\displaystyle T_{0,1}^{*}M}$Los haces (co)tangentes holomorfos y antiholomorfos se intercambian por conjugación , lo que da un isomorfismo lineal real (¡pero no lineal complejo!) .${\displaystyle T^{1,0}M\to T^{0,1}M}$.

El fibrado tangente holomorfo${\displaystyle T^{1,0}M}$es isomorfo como un fibrado vectorial real de rango${\displaystyle 2n}$al haz tangente regular${\displaystyle TM}$El isomorfismo viene dado por la composición${\displaystyle TM\hookrightarrow TM\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {\operatorname {pr} _{1,0}}}T^{1,0}M}$de inclusión en el haz tangente complejizado y luego proyección sobre el${\displaystyle i}$-conjunto propio.

El fibrado canónico se define por${\displaystyle K_{M}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}M}$.

En una carta holomorfa local${\displaystyle \varphi =(z^{1},\dots ,z^{n}):U\to \mathbb {C} ^{n}}$de${\displaystyle M}$, uno ha distinguido coordenadas reales${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},y^{1},\dots ,y^{n})}$definido por${\displaystyle z^{j}=x^{j}+iy^{j}}$para cada${\displaystyle j=1,\dots ,n}$. Estas dan lugar a formas de un solo valor complejas distinguidas.${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}}$en${\displaystyle U}$. Duales a estas formas de un valor complejo son los campos vectoriales de valor complejo (es decir, secciones del fibrado tangente complejizado),

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

En conjunto, estos campos vectoriales forman un marco para${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$, la restricción del fibrado tangente complejizado a${\displaystyle U}$. De este modo, estos campos vectoriales también dividen el fibrado tangente complejizado en dos subfibrados.

${\displaystyle \left.T^{1,0}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\right\},\quad \left.T^{0,1}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\right\}.}$

Bajo un cambio holomorfo de coordenadas, estos dos subhaces de${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$se conservan y, por lo tanto, al cubrir${\displaystyle M}$mediante cartas holomorfas se obtiene una escisión del fibrado tangente complejizado. Esta es precisamente la escisión en los fibrados tangentes holomorfos y antiholomorfos descritos anteriormente. De manera similar, las formas de uno con valores complejos${\displaystyle dz^{j}}$y${\displaystyle d{\bar {z}}^{j}}$proporcionar la división del fibrado cotangente complejizado en los fibrados cotangente holomorfo y antiholomorfo.

Desde esta perspectiva, el nombre de fibrado tangente holomorfo se vuelve transparente. Es decir, las funciones de transición para el fibrado tangente holomorfo, con marcos locales generados por el${\displaystyle \partial /\partial z^{j}}$, vienen dadas por la matriz jacobiana de las funciones de transición de${\displaystyle M}$Explícitamente, si tenemos dos gráficos${\ Displaystyle U _ {\ alpha}, U _ {\ beta}}$con dos conjuntos de coordenadas${\displaystyle z^{j},w^{k}}$, entonces

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial w^{k}}{\partial z^{j}}}{\frac {\partial }{\partial w^{k}}}.}$

Dado que las funciones de coordenadas son holomorfas, también lo son sus derivadas, y por lo tanto, las funciones de transición del fibrado tangente holomorfo también lo son. Así, el fibrado tangente holomorfo es un fibrado vectorial holomorfo genuino . De manera similar, el fibrado cotangente holomorfo es un fibrado vectorial holomorfo genuino, cuyas funciones de transición vienen dadas por la transpuesta inversa de la matriz jacobiana. Nótese que los fibrados tangente y cotangente antiholomorfos no tienen funciones de transición holomorfas, sino antiholomorfas.

En términos de los marcos locales descritos, la estructura casi compleja${\displaystyle J}$actos por

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},}$

o en coordenadas reales por

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\mapsto {\frac {\partial }{\partial y^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\mapsto -{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

Dado que los haces tangente y cotangente holomorfos tienen la estructura de haces vectoriales holomorfos, existen secciones holomorfas distinguidas. Un campo vectorial holomorfo es una sección holomorfa de${\displaystyle T^{1,0}M}$. Una 1-forma holomorfa es una sección holomorfa de${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$. Al tomar poderes externos de${\displaystyle T_{1,0}^{*}}$, se puede definir holomorfo${\displaystyle p}$-formas para números enteros${\displaystyle p}$. El operador de Cauchy-Riemann de${\displaystyle M}$puede extenderse de funciones a formas diferenciales de valor complejo, y las secciones holomorfas del fibrado cotangente holomorfo coinciden con la diferencial de valor complejo.${\displaystyle (p,0)}$-formas que son aniquiladas por${\displaystyle {\bar {\partial }}}$Para más detalles, consulte las formas diferenciales complejas .

• Colectivo casi complejo
• variedad hermitiana

• Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 3-540-21290-6.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523