Módulo D

En matemáticas , un D -módulo es un módulo sobre un anillo D de operadores diferenciales . El principal interés de estos D -módulos radica en su aplicación a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales lineales . Desde alrededor de 1970, se ha desarrollado la teoría de D -módulos, principalmente como respuesta a las ideas de Mikio Sato sobre análisis algebraico y ampliando el trabajo de Sato y Joseph Bernstein sobre el polinomio de Bernstein-Sato .

Los primeros resultados importantes fueron el teorema de constructibilidad de Kashiwara y el teorema del índice de Kashiwara de Masaki Kashiwara . Los métodos de la teoría de D -módulos siempre se han derivado de la teoría de haces y otras técnicas, inspirándose en el trabajo de Alexander Grothendieck en geometría algebraica . Este enfoque es de carácter global y difiere de las técnicas de análisis funcional tradicionalmente utilizadas para estudiar operadores diferenciales. Los resultados más sólidos se obtienen para sistemas sobredeterminados ( sistemas holonómicos ) y en la variedad característica delimitada por los símbolos , que en el mejor de los casos es una subvariedad lagrangiana del fibrado cotangente de dimensión máxima ( sistemas involutivos ). Zoghman Mebkhout retomó estas técnicas de la escuela de Grothendieck , obteniendo una versión general de la correspondencia de Riemann-Hilbert en todas las dimensiones.

El primer caso de D -módulos algebraicos son los módulos sobre el álgebra de Weyl A _n ( K ) sobre un cuerpo K de característica cero. Es el álgebra que consta de polinomios en las siguientes variables.

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

donde las variables x _i y ∂ _j conmutan por separado entre sí, y x _i y ∂ _j conmutan para i ≠ j , pero el conmutador satisface la relación

[∂ _i , x _i ] = ∂ _i x _i − x _i ∂ _i = 1.

Para cualquier polinomio f ( x ₁ , ..., x _n ), esto implica la relación

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i ,

De este modo, se relaciona el álgebra de Weyl con las ecuaciones diferenciales.

Un D -módulo (algebraico) es, por definición, un módulo izquierdo sobre el anillo A _n ( K ). Ejemplos de D -módulos incluyen el álgebra de Weyl misma (que actúa sobre sí misma mediante multiplicación por la izquierda), el anillo de polinomios (conmutativo) K [ x ₁ , ..., x _n ], donde x _i actúa mediante multiplicación y ∂ _j actúa mediante diferenciación parcial con respecto a x _j y, de manera similar, el anillo${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})}$de funciones holomorfas en C ⁿ (funciones de n variables complejas).

Dado un operador diferencial P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), donde x es una variable compleja y a _i ( x ) son polinomios, el módulo cociente M = A ₁ ( C )/ A ₁ ( C ) P está estrechamente vinculado al espacio de soluciones de la ecuación diferencial.

P f = 0,

donde f es alguna función holomorfa en C , por ejemplo. El espacio vectorial que consta de las soluciones de esa ecuación está dado por el espacio de homomorfismos de D -módulos.${\displaystyle \mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))}$.

The general theory of D-modules is developed on a smoothalgebraic varietyX defined over an algebraically closed field K of characteristic zero, such as K = C. The sheaf of differential operators D_X is defined to be the O_X-algebra generated by the vector fields on X, interpreted as derivations. A (left) D_X-module M is an O_X-module with a left action of D_X on it. Giving such an action is equivalent to specifying a K-linear map

${\displaystyle \nabla :D_{X}\rightarrow \operatorname {Fin} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}}$

satisfying

${\displaystyle \nabla _{fv}(m)=f\,\nabla _{v}(m)}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)}$ (Leibniz rule)

${\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}$

Here f is a regular function on X, v and w are vector fields, ${\displaystyle m\in M}$, and [−, −] denotes the commutator. Therefore, if M is in addition a locally free O_X-module, giving M a D-module structure is nothing else than equipping the vector bundle associated to M with a flat (or integrable) connection.^[1]

As the ring D_X is noncommutative, left and right D-modules have to be distinguished. However, the two notions can be exchanged, since there is an equivalence of categories between both types of modules, given by mapping a left module M to the tensor productM ⊗ Ω_X, where Ω_X is the line bundle given by the highest exterior power of differential 1-forms on X. This bundle has a natural right action determined by

ω ⋅ v := − Lie_v (ω),

where v is a differential operator of order one, that is to say a vector field, ω a n-form (n = dim X), and Lie denotes the Lie derivative.^[2]

Localmente, después de elegir algún sistema de coordenadas x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) en X , que determinen una base ∂ ₁ , ..., ∂ _n del espacio tangente de X , las secciones de D _X pueden representarse de forma única como expresiones

${\displaystyle \sum f_{i_{1},\dots ,i_{n}}\partial _{1}^{i_{1}}\cdots \partial _{n}^{i_{n}}}$, donde el${\displaystyle f_{i_{1},\dots ,i_{n}}}$son funciones regulares en X.

En particular, cuando X es el espacio afín n -dimensional , este D _X es el álgebra de Weyl en n variables.

Muchas propiedades básicas de los D -módulos son locales y se asemejan a la situación de los haces coherentes . Esto se basa en el hecho de que D _X es un haz localmente libre de OX _- módulos, aunque de rango infinito, como lo demuestra la _{base OX} mencionada anteriormente . Se puede demostrar que un D _- módulo que es coherente como un OX _- módulo es necesariamente localmente libre (de rango finito).

Una de las primeras aplicaciones de los D -módulos holonómicos fue el polinomio de Bernstein-Sato .

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• Coutinho, SC (1995), A primer of algebraic D- modules , London Mathematical Society Student Texts, vol.  33, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55119-9, MR 1356713 
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• Bernstein, Joseph , Teoría algebraica de D- módulos (PDF)
• Gaitsgory, Dennis , Lecciones sobre la teoría de la representación geométrica (PDF) , archivado del original (PDF) el 26 de marzo de 2015 , consultado el 14 de diciembre de 2011.
• Milicic, Dragan, Lecciones sobre la teoría algebraica de los D -módulos